Propriétés $\left(𝐐\right)$ et $\left(𝐂\right)$. Variété commutante  [ Properties $\left(𝐐\right)$ and $\left(𝐂\right)$. Commuting variety ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 4, p. 477-508

Let $X$ be a complex, smooth, irreducible algebraic variety, $E$ and $F$ be two finite dimensional complex vector spaces and $\mu$ be a morphism from $X$ to the space Lin$\left(E,F\right)$ of linear maps from $E$ to $F$. For $x$ in $X$, we denote by $E\left(x\right)$ and $x·E$ the kernel and the image of $\mu \left(x\right)$, and by ${\overline{\phantom{\rule{-0.166667em}{0ex}}\mu }}_{x}$ the morphism from $X$ to Lin$\left(E\left(x\right),F/\left(x·E\right)\right)$ which associates to $y$ the linear map $v↦\mu \left(y\right)\left(v\right)+x·E$. Let i${\phantom{\rule{0.55542pt}{0ex}}}_{\mu }$ be the smallest dimension of $E\left(x\right)$. We say that $\mu$ has property $\left(𝐑\right)$ at $x$ if i${\phantom{\rule{1.66656pt}{0ex}}}_{{\overline{\phantom{\rule{-0.166667em}{0ex}}\mu }}_{x}}$ is not greater than i${\phantom{\rule{0.55542pt}{0ex}}}_{\mu }$. Let ${F}^{*}$ be the dual of $F$, S$\left(F\right)$ be the symmetric algebra of $F$, ${ℐ}_{\mu }$ be the ideal of ${𝒪}_{X}{\otimes }_{ℂ}\mathrm{S}\left(F\right)$ generated by the functions $\left(x,{v}^{\text{'}}\right)↦〈{v}^{\text{'}},\mu \left(x\right)\left(v\right)〉$ where $v$ is in $E$ and ${ℭ}_{\mu }$ be the subvariety of zeros in $X×{F}^{*}$ of ${ℐ}_{\mu }$, $\sqrt{{ℐ}_{\mu }}$ be the radical of ${ℐ}_{\mu }$, $\Sigma$ be the support of $\sqrt{{ℐ}_{\mu }}/{ℐ}_{\mu }$ in $X×{F}^{*}$ and $S$ be the projection of $\Sigma$ on $X$. The first main result says that under two technical conditions on $\mu$, $S$ is a closed subset of $X$ whose codimension is at least equal to $2$ if and only if the closure of the subset of points in $X$ at which $\mu$ has not property $\left(𝐑\right)$, has codimension at least equal to $2$. Let $𝔤$ be a Lie algebra. We say that $𝔤$ has the property $\left(𝐂\right)$ at the element $\xi$ of $𝔤$ if the adjoint map from $𝔤$ to the space of linear endomorphisms of $𝔤$ has the property (R) at $\xi$ and that $𝔤$ has the property $\left(𝐐\right)$ at the element ${v}^{\text{'}}$ of ${𝔤}^{*}$ if the coadjoint map from ${𝔤}^{*}$ to Lin$\left(𝔤,{𝔤}^{*}\right)$ has the property (R) at ${v}^{\text{'}}$. The algebra $𝔤$ has the property (Q) at ${v}^{\text{'}}$ if and only if the index of the stabilizer $𝔤\left({v}^{\text{'}}\right)$ of ${v}^{\text{'}}$ is equal to the index of $𝔤$. The second main result says that any reductive Lie algebra has property (Q) at any point of ${𝔤}^{*}$.

Soient $X$ une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et $\mu$ un morphisme de $X$ dans l’espace Lin$\left(E,F\right)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Pour $x\in X$, on note $E\left(x\right)$ et $x·E$ le noyau et l’image de $\mu \left(x\right)$, ${\overline{\phantom{\rule{-0.166667em}{0ex}}\mu }}_{x}$ le morphisme de $X$ dans Lin$\left(E\left(x\right),F/\left(x·E\right)\right)$ qui associe à $y$ l’application linéaire $v↦\mu \left(y\right)\left(v\right)+x·E$. Soit i${\phantom{\rule{0.55542pt}{0ex}}}_{\mu }$ la dimension minimale de $E\left(x\right)$. On dit que $\mu$ a la propriété $\left(𝐑\right)$ en $x$ si i${\phantom{\rule{1.66656pt}{0ex}}}_{{\overline{\phantom{\rule{-0.166667em}{0ex}}\mu }}_{x}}$ est inférieur à i${\phantom{\rule{0.55542pt}{0ex}}}_{\mu }$. Soient ${F}^{*}$ le dual de $F$, S$\left(F\right)$ l’algèbre symétrique de $F$, ${ℐ}_{\mu }$ l’idéal de ${𝒪}_{X}{\otimes }_{ℂ}\mathrm{S}\left(F\right)$ engendré par les fonctions $\left(x,{v}^{\text{'}}\right)↦〈{v}^{\text{'}},\mu \left(x\right)\left(v\right)〉$$v$ est dans $E$ et ${ℭ}_{\mu }$ la sous-variété des zéros dans $X×{F}^{*}$ de ${ℐ}_{\mu }$. Désignant par $\sqrt{{ℐ}_{\mu }}$ le radical de ${ℐ}_{\mu }$, par $\Sigma$ le support de $\sqrt{{ℐ}_{\mu }}/{ℐ}_{\mu }$ dans $X×{F}^{*}$ et par $S$ la projection de $\Sigma$ sur $X$, le premier résultat principal de ce mémoire dit que sous deux conditions techniques sur $\mu$, $S$ est une partie fermée de $X$ dont la codimension est supérieure à $2$ si et seulement si l’adhérence de l’ensemble des points de $X$ en lesquels $\mu$ n’a pas la propriété $\left(𝐑\right)$, a une codimension supérieure à $2$. Soit $𝔤$ une algèbre de Lie. On dit que $𝔤$ a la propriété $\left(𝐂\right)$ en l’élément $\xi$ de $𝔤$ si l’application adjointe de $𝔤$ dans l’espace des endomorphismes linéaires de $𝔤$ a la propriété (R) en $\xi$ et que $𝔤$ a la propriété $\left(𝐐\right)$ en l’élément ${v}^{\text{'}}$ de ${𝔤}^{*}$ si l’application coadjointe de ${𝔤}^{*}$ dans $\mathrm{Lin}\left(𝔤,{𝔤}^{*}\right)$ a la propriété (R) en ${v}^{\text{'}}$. L’algèbre $𝔤$ a la propriété (Q) en ${v}^{\text{'}}$ si et seulement si l’indice du stabilisateur $𝔤\left({v}^{\text{'}}\right)$ de ${v}^{\text{'}}$ est égal à l’indice de $𝔤$. Le deuxième résultat principal dit qu’une algèbre de Lie réductive a la propriété (Q) en tout point de ${𝔤}^{*}$.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2471
Classification:  14A10,  14L17,  22E20,  22E46
Keywords: index, Lie algebra, linear endomorphism, codimension, algebraic variety
@article{BSMF_2004__132_4_477_0,
author = {Charbonnel, Jean-Yves},
title = {Propri\'et\'es $(\mathbf {Q})$ et $(\mathbf {C})$. Vari\'et\'e commutante},
journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
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Charbonnel, Jean-Yves. Propriétés $(\mathbf {Q})$ et $(\mathbf {C})$. Variété commutante. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 4, pp. 477-508. doi : 10.24033/bsmf.2471. http://www.numdam.org/item/BSMF_2004__132_4_477_0/

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