Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux  [ On the orbits of a spherical subgroup in the flag manifold ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 4, p. 543-567

Let G be a complex reductive algebraic group, B be a Borel subgroup of G and H be a spherical subgroup of G. Let X be a G×G-equivariant embedding of G. We know that B×H have finitely many orbits in G ; we show that it has finitely many ones in X. Let V ¯ be the closure in X of a (B×H)-orbit in G, and 𝒪 ¯ be the closure of a (G×G)-orbit in X. If X is toroïdal, we show that the intersection V ¯𝒪 ¯ is proper in X and we describe this intersection. If in addition X is smooth, we determine the intersection multiplicities of V ¯𝒪 ¯, which are powers of 2. If X is toroïdal, smooth and complete, we write the class of cohomology of V ¯ as a linear combinaison of the classes of the closures in X of the (B×B)-orbits in G. The proof of this last statement uses B-equivariant cohomology. Let Y be a smooth G-equivariant embedding of G/H and 𝒪 ¯ be the closure of a G-orbit in Y. Let V ¯ be the closure in Y of a B-orbit in G/H. In [4], just after Proposition6, M.Brion asks if each irreducible component of V ¯𝒪 ¯ intersects the set of the smooth points in V ¯: we give an example which answers ‘no’ to this question.

Soient G un groupe algébrique complexe réductif et connexe, B un sous-groupe de Borel de G et H un sous-groupe sphérique de G. Soit X un plongement G×G-équivariant de G. Nous savons que B×H n’a qu’un nombre fini d’orbites dans G ; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dans X. Soit V ¯ l’adhérence dans X d’une orbite de B×H dans G et 𝒪 ¯ l’adhérence d’une orbite de G×G dans X. Si X est toroïdal, nous montrons que l’intersection V ¯𝒪 ¯ est propre dans X et la décrivons ensemblistement. Si de plus X est lisse, nous calculons les multiplicités d’intersections qui sont des puissances de 2. Enfin, si X est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de V ¯ comme une combination linéaire des classes d’adhérence dans X d’orbites de B×B dans G. Nous utilisons la cohomologie B-équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit Y un plongement lisse G-équivariant et toroïdal de G/H et 𝒪 ¯ l’adhérence d’une orbite de G dans Y. Soit V ¯ l’adhérence dans Y d’une orbite de B dans G/H. Dans [4], après la proposition6, M.Brion demande si chaque composante irréductible de V ¯𝒪 ¯ contient des points lisses de V ¯ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2473
Classification:  14M15,  14M17,  14C17,  55N91
Keywords: group embeddings, spherical variety, orbit closures, flag varieties, equivariant cohomology
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Ressayre, Nicolas. Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 4, pp. 543-567. doi : 10.24033/bsmf.2473. http://www.numdam.org/item/BSMF_2004__132_4_543_0/

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