Théorie de Voronoï géométrique. Propriétés de finitude pour les familles de réseaux et analogues  [ Voronoï's geometric theory. Finiteness properties for families of lattices and similar objects ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 133 (2005) no. 2, p. 205-257

A geometric Voronoï's theory is developed and applied to classical families of euclidean lattices (such as symplectic or orthogonal lattices). In particular, new finiteness results are obtained concerning configurations of minimal vectors and special lattices (for example the perfect ones) in these families. The geometric methods introduced are also illustrated by the study of related objects (Humbert forms) or similar ones (Riemann surfaces).

Nous développons une théorie de Voronoï géométrique. En l'appliquant aux familles classiques de réseaux euclidiens (par exemple symplectiques ou orthogonaux), nous obtenons notamment de nouveaux résultats de finitude concernant les configurations de vecteurs minimaux et les réseaux particuliers (par exemple parfaits) de ces familles. Les méthodes géométriques introduites sont également illustrées par l'étude d'objets voisins (formes de Humbert) ou analogues (surfaces de Riemann).

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2485
Classification:  11H55
Keywords: Voronoï's theory, euclidean lattices
@article{BSMF_2005__133_2_205_0,
     author = {Bavard, Christophe},
     title = {Th\'eorie de Vorono\"\i\ g\'eom\'etrique. Propri\'et\'es de finitude pour les familles de r\'eseaux et analogues},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {133},
     number = {2},
     year = {2005},
     pages = {205-257},
     doi = {10.24033/bsmf.2485},
     zbl = {1085.11033},
     mrnumber = {2172266},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2005__133_2_205_0}
}
Bavard, Christophe. Théorie de Voronoï géométrique. Propriétés de finitude pour les familles de réseaux et analogues. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 133 (2005) no. 2, pp. 205-257. doi : 10.24033/bsmf.2485. http://www.numdam.org/item/BSMF_2005__133_2_205_0/

[1] H. Akrout - « Théorème de Voronoï dans les espaces symétriques », Canad. J. Math. 54 (2002), no. 3, p. 449-467. | MR 1900759 | Zbl 1086.11034

[2] -, « Singularités topologiques des systoles généralisées », 42 (2003), p. 291-308. | MR 1941437

[3] R. Baeza & M. Icaza - « On Humbert-Minkowski's constant for a number field », Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), no. 11, p. 3195-3202. | MR 1403112 | Zbl 0896.11014

[4] C. Bavard - « Invariant d'Hermite isotrope et densité des réseaux orthogonaux lorentziens », juin 2003. | Zbl 1128.11034

[5] -, « Systole et invariant d'Hermite », 482 (1997), p. 93-120. | MR 1427658 | Zbl 1011.53035

[6] -, « Familles hyperboliques de réseaux symplectiques », Math. Ann. 320 (2001), p. 799-833. | MR 1857139 | Zbl 1008.11027

[7] A.-M. Bergé - « Minimal vectors of pairs of dual lattices », J. Number Theory 52 (1995), no. 2, p. 284-298. | MR 1336751 | Zbl 0829.11036

[8] A.-M. Bergé & J. Martinet - « Sur un problème de dualité lié aux sphères en géométrie des nombres », J. Number Theory 32 (1989), no. 1, p. 14-42. | MR 1002112 | Zbl 0677.10022

[9] -, « Réseaux extrêmes pour un groupe d'automorphismes », Journées Arithmétiques (Luminy, 1989), vol. 198-200, Société Mathématique de France, 1991, p. 41-66. | Zbl 0753.11026

[10] -, « Densité dans des familles de réseaux. Application aux réseaux isoduaux », Enseign. Math. 41 (1995), no. 3-4, p. 335-365. | MR 1365850 | Zbl 0848.52006

[11] -, « Sur la classification des réseaux eutactiques », J. London Math. Soc. 53 (1996), no. 3, p. 417-432. | MR 1396707 | Zbl 0854.11035

[12] A.-M. Bergé, J. Martinet & F. Sigrist - « Une généralisation de l'algorithme de Voronoï pour les formes quadratiques », Journées Arithmétiques (Geneva, 1991), vol. 209, Société Mathématique de France, 1992, p. 12, 137-158. | MR 1211008 | Zbl 0812.11037

[13] J. Bochnak, M. Coste & M.-F. Roy - Géométrie algébrique réelle, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 12, Springer-Verlag, Berlin, 1987. | MR 949442 | Zbl 0633.14016

[14] N. Bourbaki - Éléments de mathématique. Livre II : Algèbre. Chapitre8 : Modules et anneaux semi-simples, Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 1261, Hermann, 1958. | Zbl 0102.27203

[15] P. Buser - « The collar theorem and examples », Manuscripta Math. 25 (1978), no. 4, p. 349-357. | MR 509590 | Zbl 0402.53028

[16] A. Casamayou - « Surfaces de Riemann parfaites en genre 4 et 6 », Comment. Math. Helv., à paraître. | Zbl 1078.30039

[17] -, « Surfaces de Riemann parfaites en petit genre », Thèse, Université Bordeaux I, juillet 2000.

[18] R. Coulangeon - « Réseaux k-extrêmes », Proc. London Math. Soc. 73 (1996), no. 3, p. 555-574. | Zbl 0861.11040

[19] -, « Voronoï theory over algebraic number fields », Monogr. Enseign. Math. 37 (2001), p. 147-162. | MR 1878749

[20] P. Eberlein - « Structure of manifolds of nonpositive curvature », Global differential geometry and global analysis 1984 (Berlin, 1984), vol. 1156, Springer, 1985, p. 86-153. | MR 824064 | Zbl 0569.53020

[21] U. Hamenstädt - « New examples of maximal surfaces », Enseign. Math. 47 (2001), no. 1-2, p. 65-101. | MR 1844895 | Zbl 1062.30046

[22] S. Helgason - Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, New York, 1978. | MR 514561 | Zbl 0451.53038

[23] H. Helling - « Diskrete Untergruppen von SL 2 () », 17 (1972), p. 217-229. | MR 324075 | Zbl 0239.22015

[24] R. Horowitz - « Characters of free groups represented in the two-dimensional special linear group », 25 (1972), p. 635-649. | MR 314993 | Zbl 1184.20009

[25] M. Icaza - « Hermite constant and extreme forms for algebraic number fields », J. London Math. Soc. 55 (1997), no. 1, p. 11-22. | MR 1423282 | Zbl 0874.11047

[26] D.-O. Jaquet-Chiffelle - « Trois théorèmes de finitude pour les G-formes », J. Théor. Nombres Bordeaux 7 (1995), no. 1, p. 165-176. | Numdam | MR 1413575 | Zbl 0843.11032

[27] A. Korkine & G. Zolotareff - « Sur les formes quadratiques positives », Math. Ann. 11 (1877), p. 242-292. | JFM 09.0139.01 | MR 1509914

[28] J. Martinet - Les réseaux parfaits des espaces euclidiens, Masson, Paris, 1996. | MR 1434803 | Zbl 0869.11056

[29] J. Milnor & D. Husemoller - Symmetric bilinear forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag, New York, 1973. | MR 506372 | Zbl 0292.10016

[30] D. Mumford - « A remark on Mahler's compactness theorem », Proc. Amer. Math. Soc. 28 (1971), no. 1, p. 289-294. | MR 276410 | Zbl 0215.23202

[31] M. Raghunathan - Discrete subgroups of Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 68, Springer-Verlag, New York, 1972. | MR 507234 | Zbl 0254.22005

[32] R. Rankin - « On positive definite quadratic forms », J. London Math. Soc. 28 (1953), p. 309-314. | MR 55380 | Zbl 0050.27401

[33] P. Schmutz - « Riemann surfaces with shortest geodesic of maximal length », Geom. Funct. Anal. 3 (1993), no. 6, p. 564-631. | MR 1250756 | Zbl 0810.53034

[34] -, « Systoles on Riemann surfaces », Manuscripta Math. 85 (1994), no. 3-4, p. 429-447. | MR 1305753 | Zbl 0819.30027

[35] P. Schmutz Schaller - « Perfect non-extremal Riemann surfaces », Canad. Math. Bull. 43 (2000), no. 1, p. 115-125. | MR 1749958 | Zbl 1041.11027

[36] M. Seppälä & T. Sorvali - « Affine coordinates for Teichmüller spaces », Math. Ann. 284 (1989), no. 1, p. 165-176. | MR 995388 | Zbl 0649.32018

[37] G. Voronoï - « Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques, premier mémoire. Sur quelques propriétés des formes quadratiques positives parfaites », 133 (1908), p. 97-178. | JFM 38.0261.01

[38] S. Wolpert - « Geodesic length functions and the Nielsen problem », J. Differential Geom. 25 (1987), no. 2, p. 275-296. | MR 880186 | Zbl 0616.53039