On the Pythagoras numbers of real analytic set germs  [ Sur le nombre de Pythagore des germes d'ensembles analytiques réels ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 3, pp. 349-362.

Nous montrons : (i) que le nombre de Pythagore d’un germe d’ensemble analytique réel est le plus grand des nombres de Pythagore des courbes qu’il contient et (ii) que tout germe de courbe analytique réelle est contenu dans le germe d’une surface analytique réelle ayant le même nombre de Pythagore (ou le nombre 2 si la courbe est pythagoricienne). Cela fournit de nouveaux exemples et contre-exemples à propos des sommes de carrés et des germes de fonctions analytiques semi-définies.

We show that (i) the Pythagoras number of a real analytic set germ is the supremum of the Pythagoras numbers of the curve germs it contains, and (ii) every real analytic curve germ is contained in a real analytic surface germ with the same Pythagoras number (or Pythagoras number 2 if the curve is Pythagorean). This gives new examples and counterexamples concerning sums of squares and positive semidefinite analytic function germs.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2490
Classification : 14P15
Mots clés : nombres de pythagore, somme de carrés, approximation d'Artin
@article{BSMF_2005__133_3_349_0,
     author = {Fernando, Jos\'e F. and Ruiz, Jes\'us},
     title = {On the Pythagoras numbers of real analytic set germs},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     pages = {349--362},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {133},
     number = {3},
     year = {2005},
     doi = {10.24033/bsmf.2490},
     zbl = {1095.14056},
     mrnumber = {2169822},
     language = {en},
     url = {archive.numdam.org/item/BSMF_2005__133_3_349_0/}
}
Fernando, José F.; Ruiz, Jesús M. On the Pythagoras numbers of real analytic set germs. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 3, pp. 349-362. doi : 10.24033/bsmf.2490. http://archive.numdam.org/item/BSMF_2005__133_3_349_0/

[1] S. Abhyankar - Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces, 2nd, enlarged éd., Springer Monographs in Math., Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1998. | MR 1617523 | Zbl 0914.14006

[2] C. Andradas, L. Bröcker & J. Ruiz - Constructible Sets in Real Geometry, Ergeb. Math. Grenzgeb., vol. 33, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1996. | MR 1393194 | Zbl 0873.14044

[3] J. Becker & R. Gurjar - « Curves with large tangent space », 242 (1975), p. 285-296. | MR 496808 | Zbl 0398.32005

[4] J. Bochnak, M. Coste & M.-F. Roy - Real Algebraic Geometry, Ergeb. Math. Grenzgeb., vol. 36, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1998. | MR 1659509 | Zbl 0912.14023

[5] N. Bourbaki - Commutative Algebra, Hermann, Paris, 1972. | MR 360549

[6] A. Campillo & J. Ruiz - « Some Remarks on Pythagorean Real Curve Germs », 128 (1990), p. 271-275. | MR 1036389 | Zbl 0718.14027

[7] M. Choi, Z. Dai, T. Lam & B. Reznick - « The Pythagoras number of some affine algebras and local algebras », 336 (1982), p. 45-82. | EuDML 152469 | MR 671321 | Zbl 0499.12018

[8] J. Fernando - « On the Pythagoras numbers of real analytic rings », 243 (2001), p. 321-338. | MR 1851666 | Zbl 1065.14070

[9] -, « Sums of squares in real analytic rings », 354 (2002), p. 1909-1919. | MR 1881023 | Zbl 0987.13017

[10] -, « Analytic surface germs with minimal Pythagoras number », Math. Z. 244 (2003), p. 725-752. | MR 2000457 | Zbl 1052.14069

[11] J. Fernando & R. Quarez - « Some remarks on the computation of Pythagoras numbers of real irreducible algebroid curves through Gram matrices », 274 (2004), p. 64-67. | MR 2040862 | Zbl 1068.14031

[12] J. Fernando & J. Ruiz - « Positive semidefinite germs on the cone », 205 (2002), p. 109-118. | MR 1921079 | Zbl 1062.32008

[13] H. Hironaka - « Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero », 79 (1964), p. 109-123, 205-326. | MR 199184 | Zbl 0122.38603

[14] T. De Jong & G. Pfister - Local Analytic Geometry, basic theory and applications, Advanced Lectures in Mathematics, Vieweg Verlag, Braunschweig-Wiesbaden, 2000. | MR 1760953 | Zbl 0959.32011

[15] H. Kurke, T. Mostowski, G. Pfister, D. Popescu & M. Roczen - Die Approximationseigenschaft lokaler Ringe, vol. 634, Springer Verlag, 1978. | MR 485851 | Zbl 0401.13013

[16] J. Merrien - « Un théorème des zéros pour les idéaux de séries formelles à coefficients réels », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 276 (1973), p. 1055-1058. | MR 316429 | Zbl 0252.14001

[17] J. Ortega - « On the Pythagoras number of a real irreducible algebroid curve », 289 (1991), p. 111-123. | MR 1087240 | Zbl 0743.14041

[18] R. Quarez - « Pythagoras numbers of real algebroid curves and Gram matrices », 238 (2001), p. 139-158. | MR 1822187 | Zbl 1044.14031

[19] J. Ruiz - The basic theory of power series, Advanced Lectures in Mathematics, Vieweg Verlag, Braunschweig-Wiesbaden, 1993. | MR 1234937

[20] -, « Sums of two squares in analytic rings », 230 (1999), p. 317-328. | MR 1676722 | Zbl 0930.32007

[21] C. Scheiderer - « Sums of squares of regular functions on real algebraic varieties », 352 (1999), p. 1039-1069. | MR 1675230 | Zbl 0941.14024

[22] -, « On sums of squares in local rings », 540 (2001), p. 205-227. | MR 1868603 | Zbl 0991.13014

[23] J.-C. Tougeron - Idéaux de fonctions différentiables, Ergeb. Math. Grenzgeb., vol. 71, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1972. | Zbl 0251.58001

[24] O. Zariski & P. Samuel - Commutative Algebra, II, vol. 29, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 1980. | Zbl 0322.13001