Vitesse dans le théorème limite central pour certains systèmes dynamiques quasi-hyperboliques
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 3, pp. 395-417.

Nous présentons une méthode permettant d’établir le théorème limite central avec vitesse en n -1/2 pour certains systèmes dynamiques. Elle est basée sur une propriété de décorrélation forte qui semble assez naturelle dans le cadre des systèmes quasi-hyperboliques. Nous prouvons que cette propriété est satisfaite par les exemples des flots diagonaux sur un quotient compact de SL (d,) et les « transformations » non uniformément hyperboliques du tore 𝕋 3 étudiées par Shub et Wilkinson.

We present a method which enables to establish the central limit theorem with rate of convergence in n -1/2 for certain dynamical systems. It is based on a strong decorrelation property that seems to be quite natural for quasi-hyperbolic systems. We prove that this property is satisfied by the diagonal flows on a compact quotient of SL (d,) and the non uniformly hyperbolic transformations of the torus 𝕋 3 studied by Shub and Wilkinson.

DOI : 10.24033/bsmf.2492
Classification : 37D30, 22E46, 22F30, 60F05
Mot clés : hyperbolicité partielle, quasi-hyperbolicité, théorème limite central
Keywords: quasi-hyperbolicity, partial hyperbolicity, central limit theorem
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Le Borgne, Stéphane; Pène, Françoise. Vitesse dans le théorème limite central pour certains systèmes dynamiques quasi-hyperboliques. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 3, pp. 395-417. doi : 10.24033/bsmf.2492. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2492/

[1] M. Blank, G. Keller & C. Liverani - « Ruelle-Perron-Frobenius spectrum for Anosov maps », Nonlinearity 15 (2002), p. 1905-1973. | MR | Zbl

[2] E. Bolthausen - « Exact convergence rates in some martingale central limit theorems », Ann. Probab. 10 (1982), p. 672-688. | MR | Zbl

[3] X. Bressaud & C. Liverani - « Anosov diffeomorphisms and coupling », Ergodic Theory Dynam. Systems (à paraître). | MR | Zbl

[4] J.-P. Conze & S. Le Borgne - « Méthode de martingales et flot géodésique sur une surface de courbure négative constante », Ergodic Theory Dynam. Systems 21 (2001), p. 421-441. | MR | Zbl

[5] -, « Propriétés statistiques des systèmes dynamiques et méthode des martingales, l'exemple des nilvariétés », en préparation. | JFM

[6] M. Denker & W. Philipp - « Approximation by Brownian motion for Gibbs measures and flows under a function », Ergodic Theory Dynam. Systems 4 (1984), p. 541-552. | MR | Zbl

[7] D. Dolgopyat - « On decay of correlations in Anosov flows », 147 (1998), p. 357-390. | MR | Zbl

[8] -, « On dynamics of mostly contracting diffeomorphisms », Comm. Math. Physics 213 (2000), p. 181-201. | MR | Zbl

[9] -, « Limit theorems for partially hyperbolic systems », preprint.

[10] C. Esseen - « Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian Law », Acta Math. 77 (1945), p. 1-125. | MR | Zbl

[11] M. Field, I. Melbourne & A. Török - « Decay of correlations, central limit theorems and approximation by Brownian motion for compact Lie group extensions », Ergodic Theory Dynam. Systems 23 (2003), p. 87-110. | MR | Zbl

[12] Y. Guivarc'H & J. Hardy - « Théorèmes limites pour une classe de chaînes de Markov et applications aux difféomorphismes d'Anosov », Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 24 (1988), p. 73-98. | Numdam | MR | Zbl

[13] E. Haeusler - « On the rate of convergence in the central limit theorem for martingales with discrete and continuous time », Ann. Probab. 16 (1988), p. 275-299. | MR | Zbl

[14] H. Hennion & L. Hervé - Limit theorems for Markov chains and stochastic properties of dynamical systems by quasi-compactness, vol. 1766, Springer-Verlag, Berlin, 2001. | MR | Zbl

[15] C. Jan - « Vitesse de convergence dans le TCL pour des chaînes de Markov et certains processus associés à des systèmes dynamiques », 331 (2000), no. 5, p. 395-398. | MR | Zbl

[16] -, « Rates of convergence for some processes under mixing conditions and application to random matrix products », prépublication, 2001.

[17] -, « Vitesse de convergence dans le TCL pour des processus associés à des systèmes dynamiques et aux produits de matrices aléatoires », Thèse, Université de Rennes 1, 2001.

[18] A. Katok & R. J. Spatzier - « First cohomology of Anosov actions of higher rank abelian groups and applications to rigidity », 79 (1994), p. 131-156. | Numdam | MR | Zbl

[19] S. Le Borgne - « Principes d’invariance pour les flots diagonaux sur SL (d,)/ SL (d,) », Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 38 (2002), no. 4, p. 581-612. | Numdam | MR | Zbl

[20] S. Le Borgne & F. Pène - « Vitesse dans le théoreme limite central pour certains processus stationnaires fortement décorrélés », arXiv : math.PR/0306083, 2003.

[21] Y. Le Jan - « The central limit theorem for the geodesic flow on noncompact manifolds of constant negative curvature », 74 (1994), p. 159-175. | MR | Zbl

[22] D. Lind - « Dynamical properties of quasihyperbolic toral automorphisms », Ergodic Theory Dynamical Systems 2 (1982), p. 49-68. | MR | Zbl

[23] I. Melbourne & A. Török - « Central limit theorems and invariance principles for time-one maps of hyperbolic flows », Comm. Math. Phys. 229 (2002), p. 57-71. | MR | Zbl

[24] F. Pène - « Applications des propriétés stochastiques des systèmes dynamiques de type hyperbolique : ergodicité du billard dispersif dans le plan, moyennisation d'équations différentielles, perturbées par une flot ergodique », Thèse, Université de Rennes, 2000.

[25] -, « Averaging method for differential equations perturbed by dynamical systems », prépublication 01-37, IRMAR, Université de Rennes, 2001.

[26] -, « Rates of convergence in the CLT for two-dimensional dispersive billiards », Comm. Math. Phys. 225 (2002), no. 1, p. 91-119. | MR | Zbl

[27] M. Ratner - « The central limit theorem for geodesic flows on n-dimensional manifolds of negative curvature », Israel J. Math. 16 (1973), p. 181-197. | MR | Zbl

[28] E. Rio - « Sur le théorème de Berry-Esseen pour les suites faiblement dépendantes », Probab. Th. Relat. Fields 104 (1996), p. 255-282. | MR | Zbl

[29] M. Shub & A. Wilkinson - « Pathological foliations and removable zero exponents », Invent. Math. 139 (2000), p. 495-508. | MR | Zbl

[30] J. Sinaï - « The central limit theorem for geodesic flows on manifolds of constant negative curvature », Dokl. Akad. Nauk SSSR 133 (1960), p. 1303-1306, en russe ; trad. anglaise dans Soviet Math. Dokl. t.1 (1960), pp. 983-987. | MR | Zbl

[31] L.-S. Young - « Statistical properties of dynamical systems with some hyperbolicity », 147 (1998), p. 585-650. | MR | Zbl

Cité par Sources :