Inégalités de résolvante pour l'opérateur de Schrödinger avec potentiel multipolaire critique

Duyckaerts, Thomas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 2, pp. 201-239.

On étudie un opérateur de la forme $-\Delta +V$ sur ${ℝ}^d$, où $V$ est un potentiel admettant plusieurs pôles en $a/r^2$. Plus précisément, on démontre l’estimation de résolvante tronquée à hautes fréquences, classique dans les cas non-captifs, et qui implique l’effet régularisant standard pour l’équation de Schrödinger correspondante. La preuve est basée sur l’introduction d’une mesure de défaut micro-locale semi-classique. On démontre également, dans le même contexte, des inégalités de Strichartz pour l’équation de Schrödinger.

We consider an operator of the form: $-\Delta +V$ on ${ℝ}^d$, where $V$ is a potential with a finite number of inverse-square singularities. More precisely, we show the usual high frequency estimate on the truncated resolvent, which is classical in nontrapping geometries, and implies the smoothing effect on the corresponding Schrödinger equation. The proof relies on the use of a semiclassical microlocal defect measure. We also show, in the same framework, Strichartz estimates for solutions of the Schrödinger equations.

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