On coverings of simple abelian varieties

Debarre, Olivier

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 2, pp. 253-260.

On associe à tout revêtement fini $f:Y\to X$ de degré $d$ entre variétés projectives lisses complexes un fibré vectoriel $E_f$ de rang $d-1$ sur $X$ dont l'espace total contient $Y$. On sait que $E_f$ est ample lorsque $X$ est un espace projectif ([Lazarsfeld 1980]), une grassmannienne ([Manivel 1997]) ou une grassmannienne lagrangienne ([Kim & Maniel 1999]). Nous montrons un résultat analogue lorsque $X$ est une variété abélienne simple et que $f$ ne se factorise par aucune isogénie non triviale $X^{\text{'}}\to X$. Ce résultat est obtenu en montrant que $E_f$ est $M$-régulier au sens de Pareschi-Popa, puis que tout faisceau $M$-régulier est ample.

To any finite covering $f:Y\to X$ of degree $d$ between smooth complex projective manifolds, one associates a vector bundle $E_f$ of rank $d-1$ on $X$ whose total space contains $Y$. It is known that $E_f$ is ample when $X$ is a projective space ([Lazarsfeld 1980]), a Grassmannian ([Manivel 1997]), or a Lagrangian Grassmannian ([Kim & Maniel 1999]). We show an analogous result when $X$ is a simple abelian variety and $f$ does not factor through any nontrivial isogeny $X^{\text{'}}\to X$. This result is obtained by showing that $E_f$ is $M$-regular in the sense of Pareschi-Popa, and that any $M$-regular sheaf is ample.

[1] O. Debarre - « Théorèmes de connexité et variétés abéliennes », Amer. J. Math. 117 (1995), p. 787-805. | MR | Zbl

[2] -, « Tores et variétés abéliennes complexes », Cours spécialisés, vol. 6, Société Math. France, Paris ; EDP Sciences, Les Ulis, 1999. | Zbl

[3] L. Ein & R. Lazarsfeld - « Singularities of theta divisors and the birational geometry of irregular varieties », J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), p. 243-258. | MR | Zbl

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[11] L. Manivel - « Vanishing theorems for ample vector bundles », Invent. Math. 127 (1997), p. 401-416. | MR | Zbl

[12] S. Mukai - « Duality between $D\left(X\right)$ and $D\left(\widehat{X}\right)$ with its application to Picard sheaves », Nagoya Math. J. 81 (1981), p. 153-175. | MR | Zbl

[13] G. Pareschi & M. Popa - « Regularity on abelian varieties I », J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), p. 285-302. | MR | Zbl

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[15] C. Simpson - « Subspaces of moduli spaces of rank one local systems », Ann. Sci. École Norm. Sup. 26 (1993), p. 361-401. | Numdam | MR | Zbl