On coverings of simple abelian varieties

Debarre, Olivier

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 2, pp. 253-260.

On associe à tout revêtement fini $f:Y\to X$ de degré $d$ entre variétés projectives lisses complexes un fibré vectoriel $E_f$ de rang $d-1$ sur $X$ dont l'espace total contient $Y$. On sait que $E_f$ est ample lorsque $X$ est un espace projectif ([Lazarsfeld 1980]), une grassmannienne ([Manivel 1997]) ou une grassmannienne lagrangienne ([Kim & Maniel 1999]). Nous montrons un résultat analogue lorsque $X$ est une variété abélienne simple et que $f$ ne se factorise par aucune isogénie non triviale $X^{\text{'}}\to X$. Ce résultat est obtenu en montrant que $E_f$ est $M$-régulier au sens de Pareschi-Popa, puis que tout faisceau $M$-régulier est ample.

To any finite covering $f:Y\to X$ of degree $d$ between smooth complex projective manifolds, one associates a vector bundle $E_f$ of rank $d-1$ on $X$ whose total space contains $Y$. It is known that $E_f$ is ample when $X$ is a projective space ([Lazarsfeld 1980]), a Grassmannian ([Manivel 1997]), or a Lagrangian Grassmannian ([Kim & Maniel 1999]). We show an analogous result when $X$ is a simple abelian variety and $f$ does not factor through any nontrivial isogeny $X^{\text{'}}\to X$. This result is obtained by showing that $E_f$ is $M$-regular in the sense of Pareschi-Popa, and that any $M$-regular sheaf is ample.

Classification : 14E20, 14J60, 14K02, 14K05, 14K12
Keywords: abelian variety, vector bundle, ample sheaf, $M$-regular sheaf, continuously generated sheaf, Barth-Lefschetz theorem, Mukai transform
Mot clés : variété ab’elienne, fibré vectoriel, faisceau ample, faisceau $M$-régulier, faisceau continûment engendré, théorème de Barth-Lefschetz, transformée de Mukai

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