Sur le groupe des classes d'un schéma arithmétique  [ On the class group of an arithmetic scheme ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 3, p. 395-415

We present a proof that the class group of an irreducible scheme of finite type over Spec𝐙 is finitely generated. This proof does not rely on the Mordell-Weil-Néron theorem but rather on the classical Mordell-Weil theorem, the Néron-Severi theorem and Hironaka and de Jong’s theorems on resolution of singularities. We derive some corollaries, including the Mordell-Weil-Néron theorem itself.

Nous donnons une démonstration du fait que le groupe des classes d’un schéma irréductible de type fini sur Spec𝐙 est de type fini. Cette preuve ne repose pas sur le théorème de Mordell-Weil-Néron, mais plutôt sur le théorème de Mordell-Weil classique, le théorème de Néron-Severi et les théorèmes de Hironaka et de Jong sur la résolution des singularités. Nous en déduisons quelques corollaires, parmi lesquels le théorème de Mordell-Weil-Néron lui-même.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2515
Classification:  11G99,  14F22,  14E15,  14G99,  14K99
Keywords: arithmetic geometry, resolution of singularities, abelian varieties, class group, Brauer group
@article{BSMF_2006__134_3_395_0,
     author = {Kahn, Bruno},
     title = {Sur le groupe des classes d'un sch\'ema arithm\'etique},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {134},
     number = {3},
     year = {2006},
     pages = {395-415},
     doi = {10.24033/bsmf.2515},
     zbl = {1222.14048},
     mrnumber = {2245999},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_3_395_0}
}
Kahn, Bruno. Sur le groupe des classes d'un schéma arithmétique. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 3, pp. 395-415. doi : 10.24033/bsmf.2515. http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_3_395_0/

[1] P. Berthelot, A. Grothendieck & L. Illusie et al. - « Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA6) : Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch », Lecture Notes in Math., vol. 225, Springer, 1971. | MR 354655 | Zbl 0218.14001

[2] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud - Néron models, Springer, 1990. | MR 1094843 | Zbl 0705.14001

[3] N. Bourbaki - Éléments de mathématique, Algèbre, Ch.V, Masson, 1981. | Zbl 0498.12001

[4] W. L. Chow - « Abstract theory of the Picard and Albanese varieties », manuscrit non publié (1955/56).

[5] J.-L. Colliot-Thélène & J.-J. Sansuc - « La R-équivalence sur les tores », Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. 10 (1977), p. 175-229. | Numdam | MR 450280 | Zbl 0356.14007

[6] P. Deligne et al. - « Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA41/2) : Cohomologie étale », Lecture Notes in Math., vol. 569, Springer, 1977. | MR 463174 | Zbl 0349.14008

[7] M. Demazure & A. Grothendieck et al. - « Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA3) : Schémas en groupes », Lecture Notes in Math., vol. II, Springer, 1970. | Zbl 0209.24201

[8] B. Fein, W. M. Kantor & M. Schacher - « Relative Brauer groups, II », J. reine angew. Math. 328 (1981), p. 31-57. | MR 636194 | Zbl 0457.13004

[9] W. Fulton - Intersection theory, Springer, 1984. | MR 732620 | Zbl 0885.14002

[10] M. J. Greenberg - « Schemata over local rings », Ann. of Math. 78 (1963), p. 256-266. | MR 156855 | Zbl 0126.16704

[11] A. Grothendieck - « Techniques de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique », Fondements de la géométrie algébrique, extraits du Séminaire Bourbaki 1957-62, Secrétariat mathématique, Paris. | Numdam | Zbl 0229.14007

[12] -, « Sur une note de Mattuck-Tate », J. reine angew. Math. 200 (1958), p. 208-215. | MR 136607 | Zbl 0084.16904

[13] A. Grothendieck & J. Dieudonné - « Éléments de géométrie algébrique, chapitre IV : Étude locale des schémas et des morphismes de schémas (2 e partie) », Publ. Math. IHÉS 24 (1965). | Numdam | MR 210718 | Zbl 0135.39701

[14] R. Guralnick, D. Jaffe, W. Raskind & R. Wiegand - « On the Picard group : torsion and the kernel induced by a faithfully flat map », J. Algebra 183 (1996), p. 420-455. | MR 1399035 | Zbl 0884.14003

[15] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Springer, 1977. | MR 463157 | Zbl 0531.14001

[16] H. Hironaka - « Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero », Ann. of Math. 79 (1964), p. 109-326. | MR 199184 | Zbl 0122.38603

[17] P. A. De Jong - « Smoothness, semi-stability and alterations », Publ. Math. IHÉS 83 (1996), p. 51-93. | Numdam | MR 1423020 | Zbl 0916.14005

[18] S. Lang - Abelian varieties, Interscience, 1957, reprint, Springer, 1983. | MR 713430 | Zbl 0516.14031

[19] -, Fundamentals of diophantine geometry, Springer, 1983. | MR 715605 | Zbl 0528.14013

[20] S. Lang & A. Néron - « Rational points of abelian varieties over function fields », Amer. J. Math. 81 (1959), p. 95-118. | MR 102520 | Zbl 0099.16103

[21] Y. Manin - « The Mordell-Weil theorem, appendice II à [27] ».

[22] T. Matsusaka - « On the algebraic construction of the Picard variety, I », Japan J. Math. 21 (1951), p. 217-235, II, ibid., 22 (1952), 51-62. | MR 62470 | Zbl 0045.42102

[23] J. S. Milne - « On the arithmetic of abelian varieties », Invent. Math. 17 (1972), p. 177-190. | MR 330174 | Zbl 0249.14012

[24] -, Étale cohomology, Princeton Univ. Press, 1980. | Zbl 0433.14012

[25] -, « Abelian varieties, p.103-150 », Arithmetic geometry (G. Cornell, J. Silverman, eds), Springer, 1986. | MR 861974

[26] D. Mumford - Geometric Invariant Theory, Springer-Verlag, 1965. | MR 214602 | Zbl 0797.14004

[27] -, Abelian varieties, Oxford University Press, 1970. | MR 282985

[28] M. Nagata - « A generalization of the imbedding problem of an abstract variety in a complete variety », J. Math. Kyoto Univ. 3 (1963), p. 89-102. | MR 158892 | Zbl 0223.14011

[29] A. Néron - « Problèmes arithmétiques et géométriques rattachés à la notion de rang d'une courbe algébrique dans un corps », Bull. Soc. Math. France 80 (1952), p. 101-166. | Numdam | Zbl 0049.30803

[30] P. Roquette - « Einheiten und divisorklassen in endlich erzeugbaren körpern », Jahresber. Deutsch. Math. Verein. 60 (1957), p. 1-21. | MR 104652 | Zbl 0079.26901

[31] P. Samuel - Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique, Springer-Verlag, 1955. | MR 72531 | Zbl 0146.16901

[32] -, « À propos du théorème des unités », Bull. Sci. Math. 90 (1966), p. 89-96. | MR 204454 | Zbl 0166.30701

[33] C. Scheiderer - « Real and étale cohomology », Lecture Notes in Math., vol. 1588, Springer, 1994. | MR 1321819 | Zbl 0852.14003

[34] B. Segre - « Intorno ad un teorema di hodge sulla teoria della base per le curve di una superficie algebrica », Ann. Mat. 16 (1937), p. 157-163. | JFM 63.0622.01 | MR 1553294

[35] F. Severi - « Sui fondamenti della geometria numerativa e sulla teoria delle caratteristiche, Ist. veneto sci. lett. arti. Parte II », 75, p. 1121-1162, Opere mat. II, Acad. Nat. Lincei, Rome, LXVIII (1974), 500-530. | JFM 46.1027.07

[36] -, « Sulla totalitá delle curve algebriche tracciate sopra una superficie algebrica », Math. Ann. 62 (1906), p. 194-225, Opere Mat. I, Acad. Nat. Lincei, Rome, XXIX (1971), 332-362. | JFM 37.0647.02 | MR 1511373