Steinness of bundles with fiber a Reinhardt bounded domain
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 4, p. 451-473

Let E denote a holomorphic bundle with fiber D and with basis B. Both D and B are assumed to be Stein. For D a Reinhardt bounded domain of dimension d=2 or 3, we give a necessary and sufficient condition on D for the existence of a non-Stein such E (Theorem 1); for d=2, we give necessary and sufficient criteria for E to be Stein (Theorem 2). For D a Reinhardt bounded domain of any dimension not intersecting any coordinate hyperplane, we give a sufficient criterion for E to be Stein (Theorem 3).

Soit E un fibré holomorphe à fibre D et base B. On suppose que D et B sont de Stein. Si D est un domaine de Reinhardt borné de dimension 2 ou 3, on donne une condition nécessaire et suffisante sur D pour l’existence d’un tel fibré E qui ne soit pas Stein (Théorème 1) ; pour d=2 on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que E soit de Stein (Théorème 2). Si D est un domaine de Reinhardt de dimension quelconque qui n’intersecte pas les hyperplans de coordonnées, on donne un critère suffisant pour que E soit de Stein.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2518
Classification:  32E10,  32A07,  32L05
Keywords: holomorphic fiber bundle, Stein manifold, bounded Reinhardt domain, Serre problem
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Oeljeklaus, Karl; Zaffran, Dan. Steinness of bundles with fiber a Reinhardt bounded domain. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 4, pp. 451-473. doi : 10.24033/bsmf.2518. http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_4_451_0/

[1] G. Cœuré & J.-J. Lœb - « A counterexample to the Serre problem with a bounded domain of 2 as fiber », Ann. of Math. 122 (1985), p. 329-334. | MR 808221 | Zbl 0585.32030

[2] K. Diederich & J. Fornaess - « Pseudoconvex domains: bounded strictly plurisubharmonic exhaustion functions », Invent. Math. 39 (1977), p. 129-141. | MR 437806 | Zbl 0353.32025

[3] P. Heinzner - « Kompakte Transformationsgruppen Steinscher Räume (Compact transformation groups of Stein spaces) », Math. Ann. 285 (1989), p. 13-28. | MR 1010188 | Zbl 0679.32030

[4] Y. Hellegouarch - Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 2002. | MR 1858559 | Zbl 1036.11001

[5] A. Hirschowitz - « Domaines de Stein et fonctions holomorphes bornées », Math. Ann. 213 (1975), p. 185-193. | MR 393563 | Zbl 0284.32011

[6] W. Kaup - « Reelle Transformationsgruppen und invariante Metriken auf komplexen Räume », Invent. Math. 3 (1967), p. 43-70. | MR 216030 | Zbl 0157.13401

[7] N. Mok - « Le problème de Serre pour les surfaces de Riemann », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 290 (1980), p. A179-A180. | MR 564155 | Zbl 0427.32015

[8] R. Narasimhan - Several complex variables, Chicago Lectures in Math., University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995. | MR 1324108 | Zbl 0223.32001

[9] P. Pflug & W. Zwonek - « The Serre problem with Reinhardt fibers », Ann. Inst. Fourier 54 (2004), p. 129-146. | Numdam | MR 2069123 | Zbl 1080.32016

[10] J.-P. Serre - « Quelques problèmes globaux relatifs aux variétés de Stein », Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, p. 57-68. | MR 64155 | Zbl 0053.05302

[11] S. Shimizu - « Automorphisms of bounded Reinhardt domains », Japan. J. Math. (N.S.) 15 (1989), p. 385-414. | MR 1039248 | Zbl 0712.32003

[12] N. Sibony - « Fibrés holomorphes et métrique de Carathéodory », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), p. 261-264. | MR 352550 | Zbl 0318.32029

[13] Y. T. Siu - « All plane domains are Banach-Stein », Manuscripta Math. 14 (1974), p. 101-105. | MR 361157 | Zbl 0294.32010

[14] -, « Holomorphic fiber bundles whose fibers are bounded Stein domains with zero first Betti number », Math. Ann. 219 (1976), p. 171-192. | MR 390303 | Zbl 0318.32010

[15] -, « Pseudoconvexity and the problem of Levi », Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), p. 481-512. | MR 477104 | Zbl 0423.32008

[16] H. Skoda - « Fibrés holomorphes à base et à fibre de Stein », Invent. Math. 43 (1977), p. 97-107. | MR 508091 | Zbl 0365.32018

[17] J.-L. Stehlé - « Fonctions plurisousharmoniques et convexité holomorphe de certains fibrés analytiques », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), p. 235-238. | MR 374493 | Zbl 0287.32013

[18] K. Stein - « Überlagerungen holomorph-vollständiger komplexer Räume », Arch. Math. 7 (1956), p. 354-361. | MR 84836 | Zbl 0072.08002

[19] R. Steinberg - Conjugacy classes in algebraic groups, Lecture Notes in Math., vol. 366, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974, notes by V.V.Deodhar. | MR 352279 | Zbl 0281.20037

[20] D. Zaffran - « Serre problem and Inoue-Hirzebruch surfaces », Math. Ann. 319 (2001), p. 395-420. | MR 1815117 | Zbl 0978.32008

[21] W. Zwonek - « On hyperbolicity of pseudoconvex Reinhardt domains », Arch. Math. (Basel) 72 (1999), p. 304-314. | MR 1678013 | Zbl 0938.32003