Approximation faible aux places de bonne réduction sur les surfaces cubiques sur les corps de fonctions  [ Weak approximation at places of good reduction on cubic surfaces over function fields ]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 4, p. 475-485

We prove that a smooth cubic surface over the field of functions of a curve on an algebraically closed field of characteristic 0 satisfies weak approximation at places of good reduction. The method used imitates that employed by Swinnerton-Dyer [10] in the case of number fields.

On démontre que les surfaces cubiques lisses sur les corps de fonctions d’une courbe sur un corps algébriquement clos de caractéristique 0 vérifient l’approximation faible aux places de bonne réduction. La méthode utilisée imite celle employée par Swinnerton-Dyer [10] dans le cas des corps de nombres.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2519
Classification:  14J26,  14G05,  14H05,  11D25
Keywords: arithmetic geometry, cubic surfaces, R-equivalence, weak approximation
@article{BSMF_2006__134_4_475_0,
     author = {Madore, David A.},
     title = {Approximation faible aux places de bonne r\'eduction sur les surfaces cubiques sur les corps de fonctions},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {134},
     number = {4},
     year = {2006},
     pages = {475-485},
     doi = {10.24033/bsmf.2519},
     zbl = {1133.14036},
     mrnumber = {2364941},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_4_475_0}
}
Madore, David A. Approximation faible aux places de bonne réduction sur les surfaces cubiques sur les corps de fonctions. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 4, pp. 475-485. doi : 10.24033/bsmf.2519. http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_4_475_0/

[1] J.-L. Colliot-Thélène & P. Gille - « Remarques sur l'approximation faible sur un corps de fonctions d'une variable », Arithmetic of higher dimensional arithmetic varieties (B. Poonen & Y. Tschinkel, éds.), Progress in Math., Birkhäuser, 2003, p. 121-133. | MR 2029865 | Zbl 1201.11066

[2] T. Graber, J. Harris & J. Starr - « Families of rationally connected varieties », J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), p. 57-67. | MR 1937199 | Zbl 1092.14063

[3] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. | MR 463157 | Zbl 0367.14001

[4] N. Katz - « Pinceaux de Lefschetz : théorème d'existence », Lect. Notes in Math., vol. 340, Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie : groupes de monodromie en géométrie algébrique II, Springer, 1972, exposé XVII. | Zbl 0284.14006

[5] J. Kollár - « Low degree polynomial equations : arithmetic, geometry and topology », prépublication, disponible sur www.arxiv.org comme alg-geom/9607016. | MR 1645812 | Zbl 0970.14001

[6] -, Rational curves on algebraic varieties, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), vol. 32, Springer, 1996. | MR 1440180

[7] -, « Unirationality of cubic hypersurfaces », J. Inst. Math. Jussieu 1 (2002), p. 467-476. | MR 1956057 | Zbl 1077.14556

[8] D. A. Madore - « Équivalence rationnelle sur les hypersurfaces cubiques sur les corps p-adiques », Manuscripta Math. 110 (2003), p. 171-185. | MR 1962532 | Zbl 1073.14509

[9] Y. I. Manin - Cubic forms : Algebra, geometry, arithmetic, North-Holland, 1974, second enlarged edition 1986. | MR 833513 | Zbl 0277.14014

[10] P. Swinnerton-Dyer - « Weak approximation and R-equivalence on cubic surfaces, in Rational points on algebraic varieties », (E. Peyre & Y. Tschinkel, éds.), Progress in Math., vol. 199, Birkäuser, 2001, p. 359-406. | MR 1875181 | Zbl 1079.11035