Sur le nombre de points visités par une marche aléatoire sur un amas infini de percolation

Rau, Clément

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 1, pp. 135-169.

On s’intéresse à une marche aléatoire simple sur un amas infini issu d’un processus de percolation surcritique sur les arêtes de ${\mathbb{Z}}^d(d\ge 2)$ de loi $Q$. On montre que la transformée de Laplace du nombre de points visités au temps $n$, noté $N_n$, a un comportement similaire au cas où la marche évolue dans ${\mathbb{Z}}^d$. Plus précisément, on établit que pour tout $0<\alpha <1$, il existe des constantes $C_i$, $C_s>0$ telles que pour presque toute réalisation de la percolation telle que l’origine appartienne à l’amas infini et pour $n$ assez grand,

$${\mathrm{e}}^{-C_i{n}^{d/(d+2)}}\le {𝔼}_0^{\omega }\left({\alpha }^{N_n}\right)\le {\mathrm{e}}^{-C_s{n}^{d/(d+2)}}.$$

Le point principal du travail réside dans l’obtention de la borne supérieure. Notre approche consiste dans un premier temps, à trouver une inégalité isopérimétrique sur l’amas infini, et dans un deuxième temps à la remonter sur un produit en couronne, ce qui nous permet alors d’obtenir une majoration de la probabilité de retour d’une certaine marche sur ce produit en couronne. L’introduction d’un produit en couronne est justement motivée par le fait que la probabilité de retour sur un tel graphe s’interprète comme l’espérance de la transformée de Laplace du nombre de points visités.

We consider random walk on the infinite cluster of the percolation model on the edges of ${\mathbb{Z}}^d(d\ge 2)$ with law $Q$, in the surcritical case. We prove that the Laplace transformation of the number of visited sites up to time $n$, called $N_n$, has the same behaviour as the random walk on ${\mathbb{Z}}^d$. More precisely, we show for all $0<\alpha <1$, there exists some constants $C_i,C_s>0$ such that for almost all realisations of the percolation such that the origin belongs to the infinite cluster and for large enough $n$,

$${\mathrm{e}}^{-C_i{n}^{d/(d+2)}}\le {𝔼}_0^{\omega }\left({\alpha }^{N_n}\right)\le {\mathrm{e}}^{-C_s{n}^{d/(d+2)}}.$$

The main work is to get the upper bound. Our approach is based, first on finding an isoperimetric inequality on the infinite cluster and secondly to lift it on a wreath product, which enables us to get an upper bound of the return probability of a particular random walk. The introduction of a wreath product is motivated by the fact that the return probability on such graph is linked to the Laplace transform of distinct visited sites.

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