Volume of spheres in doubling metric measured spaces and in groups of polynomial growth
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 135 (2007) no. 1, p. 47-64

Let G be a compactly generated locally compact group and let U be a compact generating set. We prove that if G has polynomial growth, then (U n ) n is a Følner sequence and we give a polynomial estimate of the rate of decay of μ(U n+1 U n ) μ(U n ). Our proof uses only two ingredients: the doubling property and a weak geodesic property that we call Property (M). As a matter of fact, the result remains true in a wide class of doubling metric measured spaces including manifolds and graphs. As an application, we obtain a L p -pointwise ergodic theorem (1p<) for the balls averages, which holds for any compactly generated locally compact group G of polynomial growth.

Soit G un groupe localement compact, compactement engendré et U une partie compacte génératrice. On prouve que si G est à croissance polynomiale, alors la suite des puissances de U forme une suite de Følner et on montre que le rapport μ(U n+1 U n ) μ(U n ) tend polynomialement vers 0. La démonstration n’utilise que deux ingrédients  : le fait qu’un groupe à croissance polynomiale est doublant, et une propriété de faible géodésicité  : la propriété (M). Par conséquent ce résultat s’étend à une large classe d’espaces métriques mesurés doublants, comme les graphes et les variétés riemanniennes. Comme application, nous obtenons un théorème ergodique presque sûr et dans L p (1p<) pour les moyennes sur les boules d’un groupe à croissance polynomiale.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2525
Classification:  20F65,  51F99
Keywords: isoperimetry, spheres, locally compact groups, volume growth in groups, metric measure spaces, doubling property
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Tessera, Romain. Volume of spheres in doubling metric measured spaces and in groups of polynomial growth. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 135 (2007) no. 1, pp. 47-64. doi : 10.24033/bsmf.2525. http://www.numdam.org/item/BSMF_2007__135_1_47_0/

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