Fonction zêta des hauteurs associée à une certaine surface cubique

de la Bretèche, Régis; Swinnerton-Dyer, Peter

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 1, pp. 65-92.

L’objet de cet article est d’obtenir une formule pour la fonction zêta des hauteurs classique à partir de la fonction zêta des hauteurs multiple de La Bretèche, et d’utiliser cette formule pour prolonger de manière méromorphe la fonction zêta des hauteurs. En particulier, il est montré que celle-ci peut être prolongée au demi-plan $\{s\in ℂ:\Re es>\frac{3}{4}\}$ et que la frontière naturelle de son domaine naturel de méromorphie est $\{s\in ℂ:\Re es=\frac{3}{4}\}$.

The object of this article is to obtain a formula for the classical height zeta function of $X_0^3=X_1{X}_2{X}_3$ in terms of the multiple height zeta function of La Bretèche, and to use that formula to find the meromorphic continuation of the height zeta function. In particular, it will be shown that the height zeta function can be meromorphic continued in $\{s\in ℂ:\Re es>\frac{3}{4}\}$ and its natural boundary is $\{s\in ℂ:\Re es=\frac{3}{4}\}$.

[1] G. Bhowmik, D. Essouabri & B. Lichtin - « Meromorphic Continuation of Multivariable Euler Products and Applications », à paraître au Forum Math., arXiv :math.NT/0502508. | MR | Zbl

[2] R. De La Bretèche - « Sur le nombre de points de hauteur bornée d'une certaine surface cubique singulière », in Nombre et répartition de points de hauteur bornée (E. Peyre, éd.), Astérisque, vol. 251, Soc. Math. France, 1998, p. 51-77. | Numdam | MR | Zbl

[3] R. De La Bretèche & T. D. Browning - « On Manin's conjecture for singular del Pezzo surfaces of degree four, I », Michigan Mathematical Journal 55 (2007), p. 51-80. | MR | Zbl

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[5] R. De La Bretèche, T. D. Browning & U. Derenthal - « On Manin's conjecture for a certain singular cubic surface », Ann. Sci. École Norm. Sup., 4e série 40 (2007), p. 1-50. | Numdam | MR | Zbl

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[7] E. Fouvry - « Sur la hauteur des points d'une certaine surface cubique singulière », in Nombre et répartition de points de hauteur bornée (E. Peyre, éd.), Astérisque, vol. 251, Soc. Math. France, 1998, p. 31-49. | Numdam | MR | Zbl

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[9] P. Salberger - « Tamagawa measures on universal torsors and points of bounded height on Fano varieties », in Nombre et répartition de points de hauteur bornée (E. Peyre, éd.), Astérisque, vol. 251, Soc. Math. France, 1998, p. 91-258. | Numdam | MR | Zbl

[10] M. Du Sautoy - « Zeta Functions of Groups and Natural Boundaries », preprint, 2000. | MR | Zbl

[11] P. Sir Swinnerton-Dyer - « Counting points on cubic surfaces II, geometric methods in algebra and number theory », (F. Bogomolov & Y. Tschinkel, éds.), Prog. Math., vol. 235, Birkhäuser, 2004. | Zbl

[12] -, « A canonical height on $X_0^3=X_1{X}_2{X}_3$ », in Diophantine geometry, CRM Series 4, Ed. Norm., Pisa, 2007, p. 309-322.

[13] G. Tenenbaum - Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, 2e éd., Cours Spécialisé, vol. 1, Soc. Math. France, 1995. | MR | Zbl

[14] E. C. Titchmarsh - The theory of the Riemann Zeta-function, 2e éd., Oxford, 1986. | MR | Zbl