Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé

Montagard, Pierre-Louis; Ressayre, Nicolas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 3, pp. 343-365.

Soient $G\subset \widehat{G}$ deux groupes réductifs connexes définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Notons $𝒟$ (resp. $\widehat{𝒟}$) l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de $G$ (resp. de $\widehat{G}$). Nous nous intéressons à l’ensemble $𝒞$ des couples $(\mu ,\widehat{\nu })$ dans $𝒟\times \widehat{𝒟}$ pour lesquels un $\widehat{G}$-module de classe $\widehat{\nu }$ contient un sous-$G$-module de classe $\mu$. Il est bien connu que $𝒞$ engendre un cône polyédral dans l’espace vectoriel rationnel engendré par le produit du groupe des caractères de $G$ avec le groupe des caractères de $\widehat{G}$. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant $𝒟$ induit une face de codimension un du cône engendré par $𝒞$. Nous appliquons ces résultats à des exemples classiques de problèmes de décompositions de représentations (produit tensoriel et pléthysme).

Let $\widehat{G}$ be a connected reductive algebraic group and $G$ be a reductive closed and connected subgroup of $\widehat{G}$ both defined over an algebraically closed field of characteristic zero. Let $𝒟$ (resp. $\widehat{𝒟}$) the set of isomorphism classes of irreducible representations of $G$ (resp. $\widehat{G}$). We consider the set of elements $(\mu ,\widehat{\nu })\in (𝒟,\widehat{𝒟})$ such that an irreducible $G$-module of class $\mu$ is a submodule of a $\widehat{G}$-module of class $\widehat{\nu }$. This set generate a polyhedral cone $𝒞$ in the rational vector space generated by the product of characters of $G$ and $\widehat{G}$. By Geometric Invariant Theory methods we give, in particular, a sufficient condition for a linear inequality defining $𝒟$ to induce a face of codimension one of $𝒞$. We apply our results to several classical example in representation theory (tensor products and plethysm).

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