On the structure of triangulated categories with finitely many indecomposables
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 135 (2007) no. 3, p. 435-474

We study the problem of classifying triangulated categories with finite-dimensional morphism spaces and finitely many indecomposables over an algebraically closed field k. We obtain a new proof of the following result due to Xiao and Zhu: the Auslander-Reiten quiver of such a category 𝒯 is of the form Δ/G where Δ is a disjoint union of simply-laced Dynkin diagrams and G a weakly admissible group of automorphisms of Δ. Then we prove that for ‘most’ groups G, the category 𝒯 is standard, i.e. k-linearly equivalent to an orbit category 𝒟 b (modkΔ)/Φ. This happens in particular when 𝒯 is maximal d-Calabi-Yau with d2. Moreover, if 𝒯 is standard and algebraic, we can even construct a triangle equivalence between 𝒯 and the corresponding orbit category. Finally we give a sufficient condition for the category of projectives of a Frobenius category to be triangulated. This allows us to construct non standard 1-Calabi-Yau categories using deformed preprojective algebras of generalized Dynkin type.

Cet article traite du problème de classification des catégories triangulées sur un corps algébriquement clos k dont les espaces de morphismes sont de dimension finie et avec un nombre fini d’indécomposables. Nous obtenons une nouvelle preuve du résultat suivant dû à Xiao et Zhu : le carquois d’Auslander-Reiten d’une telle catégorie 𝒯 est de la forme Δ/GΔ est une union disjointe de diagrammes de Dynkin simplement lacés et G est un groupe d’automorphismes de Δ faiblement admissible. Nous montrons ensuite que pour ‘presque’ tous groupes G, la catégorie 𝒯 est standard, c’est-à-dire k-linéairement équivalente à une catégorie d’orbites 𝒟 b (𝗆𝗈𝖽kΔ)/Φ. C’est en particulier le cas lorsque 𝒯 est maximale d-Calabi-Yau avec d2. De plus, si 𝒯 est standard et algébrique, nous pouvons même construire une équivalence triangulée entre 𝒯 et la catégorie d’orbites correspondante. Nous donnons finalemant une condition suffisante pour que la catégorie de projectifs d’une catégorie de Frobenius soit triangulée. Cela nous permet de construire des catégories 1-Calabi-Yau non standard en utilisant les algèbres préprojectives déformées de type Dynkin généralisé.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2542
Classification:  18E30,  16G70
Keywords: locally finite triangulated category, Calabi-Yau category, Dynkin diagram, Auslander-Reiten quiver, orbit category
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Amiot, Claire. On the structure of triangulated categories with finitely many indecomposables. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 135 (2007) no. 3, pp. 435-474. doi : 10.24033/bsmf.2542. http://www.numdam.org/item/BSMF_2007__135_3_435_0/

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