Homotopy invariance of higher signatures and $3$-manifold groups

Matthey, Michel; Oyono-Oyono, Hervé; Pitsch, Wolfgang

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 1, pp. 1-25.

Nous démontrons que pour des variétés fermées et orientées les signatures qui proviennent des groupes fondamentaux d’une large classe de variétés orientables de dimension $3$ sont des invariants homotopiques. Cette classe, que nous décrivons soigneusement, contient en particulier les variétés géométriques par morceaux au sens de Thurston. Si la conjecture de géométrisation de Thurston s’avère vraie cette classe coïncide alors avec celle des groupes fondamentaux de variétés de dimension $3$ orientables. Plus précisément nous démontrons que tous les groupes dans cette classe satisfont la conjecture de Baum-Connes avec coefficients. Nous discutons également le cas non-orientable.

For closed oriented manifolds, we establish oriented homotopy invariance of higher signatures that come from the fundamental group of a large class of orientable $3$-manifolds, including the “piecewise geometric” ones in the sense of Thurston. In particular, this class, that will be carefully described, is the class of all orientable $3$-manifolds if the Thurston Geometrization Conjecture is true. In fact, for this type of groups, we show that the Baum-Connes Conjecture With Coefficients holds. The non-oriented case is also discussed.

Classification : 19K35, 57R20, 57M50, 46L80
Keywords: Baum-Connes conjecture, JSJ decomposition, Thurston geometrization conjecture
Mot clés : conjecture de Baum-Connes, décomposition JSJ, conjecture de géométrisation de Thurston

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