Rational BV-algebra in string topology

Félix, Yves; Thomas, Jean-Claude

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 2, pp. 311-327.

Soit $M$ une variété simplement connexe compacte sans bord de dimension $m$. Désignons par $LM$ l’espace des lacets libres sur $M$. M. Chas et D. Sullivan ont défini une structure de BV-algèbre sur l’homologie singulière $H_{*}(LM;k)$. Lorsque l’anneau des coefficients $k$ est un corps de caractéristique nulle, nous établissons l’existence d’une structure de BV-algèbre sur la cohomologie de Hochschild $H{H}^{*}(C^{*}\left(M\right);C^{*}\left(M\right))$ qui étend la structure canonique d’algèbre de Gerstenhaber. De plus nous construisons un isomorphisme de BV-algèbres entre $H_{*+m}(LM;k)$ et $H{H}^{*}(C^{*}\left(M\right);C^{*}\left(M\right))$. Finalement nous démontrons que le produit de Chas-Sullivan ainsi que le BV-opérateur sont compatibles avec la décomposition de Hodge de $H_{*}(LM;k)$.

Let $M$ be a 1-connected closed manifold of dimension $m$ and $LM$ be the space of free loops on $M$. M.Chas and D.Sullivan defined a structure of BV-algebra on the singular homology of $LM$, $H_{*}(LM;k)$. When the ring of coefficients is a field of characteristic zero, we prove that there exists a BV-algebra structure on the Hochschild cohomology $H{H}^{*}(C^{*}\left(M\right);C^{*}\left(M\right))$ which extends the canonical structure of Gerstenhaber algebra. We construct then an isomorphism of BV-algebras between $H{H}^{*}(C^{*}\left(M\right);C^{*}\left(M\right))$ and the shifted homology $H_{*+m}(LM;k)$. We also prove that the Chas-Sullivan product and the BV-operator behave well with a Hodge decomposition of $H_{*}\left(LM\right)$.

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