Rational BV-algebra in string topology
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 2, pp. 311-327.

Let M be a 1-connected closed manifold of dimension m and LM be the space of free loops on M. M.Chas and D.Sullivan defined a structure of BV-algebra on the singular homology of LM, H * (LM;k). When the ring of coefficients is a field of characteristic zero, we prove that there exists a BV-algebra structure on the Hochschild cohomology HH * (C * (M);C * (M)) which extends the canonical structure of Gerstenhaber algebra. We construct then an isomorphism of BV-algebras between HH * (C * (M);C * (M)) and the shifted homology H *+m (LM;k). We also prove that the Chas-Sullivan product and the BV-operator behave well with a Hodge decomposition of H * (LM).

Soit M une variété simplement connexe compacte sans bord de dimension m. Désignons par LM l’espace des lacets libres sur M. M. Chas et D. Sullivan ont défini une structure de BV-algèbre sur l’homologie singulière H * (LM;k). Lorsque l’anneau des coefficients k est un corps de caractéristique nulle, nous établissons l’existence d’une structure de BV-algèbre sur la cohomologie de Hochschild HH * (C * (M);C * (M)) qui étend la structure canonique d’algèbre de Gerstenhaber. De plus nous construisons un isomorphisme de BV-algèbres entre H *+m (LM;k) et HH * (C * (M);C * (M)). Finalement nous démontrons que le produit de Chas-Sullivan ainsi que le BV-opérateur sont compatibles avec la décomposition de Hodge de H * (LM;k).

DOI: 10.24033/bsmf.2558
Classification: 55P35,  54N33,  81T30
Keywords: string homology, rational homotopy, Hochschild cohomology, free loop space homology
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[1] J.-L. Brylinski - Loop spaces, characteristic classes and geometric quantization, Progress in Mathematics, vol. 107, Birkhäuser, 1993. | MR | Zbl

[2] D. Burghelea & M. Vigué-Poirrier - « Cyclic homology of commutative algebras I », Proceedings of the Meeting on Algebraic Homotopy, Louvain, 1986, Lectures Notes in Math. 1318 (1988), p. 51-72. | MR | Zbl

[3] M. Chas & D. Sullivan - « String topology », preprint arXiv:math.GT/9911159, 1999.

[4] D. Chataur - « A bordism approach to string topology », Int. Math. Res. Not. 46 (2005), p. 2829-2875. | MR | Zbl

[5] R. L. Cohen & J. D. S. Jones - « A homotopy theoretic realization of string topology », Math. Ann. 324 (2002), p. 773-798. | MR | Zbl

[6] R. L. Cohen, J. D. S. Jones & J. Yan - The loop homology algebra of spheres and projective spaces, Progr. Math., vol. 215, Birkhäuser, 2004. | MR | Zbl

[7] Y. Félix, S. Halperin & J.-C. Thomas - Differential graded algebras in topology, North-Holland, 1995. | MR | Zbl

[8] -, Rational homotopy theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 205, Springer, 2001. | MR

[9] Y. Félix, L. Menichi & J.-C. Thomas - « Gerstenhaber duality in Hochschild cohomology », J. Pure Appl. Algebra 199 (2005), p. 43-59. | MR | Zbl

[10] Y. Félix & J.-C. Thomas - « Monoid of self-equivalences and free loop spaces », Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), p. 305-312. | MR | Zbl

[11] Y. Felix, J.-C. Thomas & M. Vigué-Poirrier - « The Hochschild cohomology of a closed manifold », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 99 (2004), p. 235-252. | Numdam | MR | Zbl

[12] Y. Félix, J.-C. Thomas & M. Vigué-Poirrier - « Rational string topology », J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 9 (2007), p. 123-156. | MR | Zbl

[13] K. Fujii - « Iterated integrals and the loop product », preprint arXiv:math/07040014.

[14] M. Gerstenhaber - « The cohomology structure of an associative ring », Ann. of Math. (2) 78 (1963), p. 267-288. | MR | Zbl

[15] M. Gerstenhaber & S. D. Schak - « A Hogde type decomposition for commutative algebras », J. Pure Appl. Algebra 48 (1987), p. 229-289. | MR | Zbl

[16] V. Ginsburg - « Calabi-Yau algebras », preprint arXiv:math/0612139.

[17] K. Gruher & P. Salvatore - « Generalized string topology operations », preprint arXiv:math.AT/0602210. | MR | Zbl

[18] A. Hamilton & A. Lazarev - « Homotopy algebras and noncommutative geometry », preprint arXiv:math.QA/0410621. | MR

[19] J. D. S. Jones - « Cyclic homology and equivariant homology », Invent. Math. 87 (1987), p. 403-423. | MR | Zbl

[20] P. Lambrechts & D. Stanley - « Poincaré duality and commutative differential graded algebras », preprint arXiv:math/0701309. | Numdam | MR | Zbl

[21] J.-L. Loday - « Opérations sur l'homologie cyclique des algèbres commutatives », Invent. Math. 96 (1989), p. 205-230. | MR | Zbl

[22] L. Menichi - « String topology for spheres », preprint arXiv:math/AT/0609304. | MR | Zbl

[23] -, « Batalin-Vilkovisky algebras and cyclic cohomology of Hopf algebras », K-Theory 32 (2004), p. 231-251. | MR | Zbl

[24] S. A. Merkulov - « De Rham model for string topology », Int. Math. Res. Not. (2004), p. 2955-2981. | MR | Zbl

[25] A. Stacey - « The differential topology of loop spaces », preprint arXiv:math.DG/0510097.

[26] J. Stasheff - « The intrinsic bracket on the deformation complex of an associative algebra », J. Pure Appl. Algebra 89 (1993), p. 231-235. | MR | Zbl

[27] D. Sullivan - « Open and closed string field theory interpreted in classical algebraic topology », in Topology, geometry and quantum field theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 308, Cambridge Univ. Press, 2004, p. 344-357. | MR | Zbl

[28] T. Tradler - « The BV algebra on Hochschild cohomology induced by infinity inner products », preprint arXiv:math.QA/0210150.

[29] T. Tradler & M. Zeinalian - « Infinity structure of Poincaré duality spaces », Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), p. 233-260, Appendix by Dennis Sullivan. | MR | Zbl

[30] D. Vaintrob - « The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces », preprint arXiv:math/0702859.

[31] M. Vigué-Poirrier - « Homologie de Hochschild et homologie cyclique des algèbres différentielles graduées », Astérisque 191 (1990), p. 7, 255-267, International Conference on Homotopy Theory (Marseille-Luminy, 1988). | MR | Zbl

[32] -, « Décompositions de l’homologie cyclique des algèbres différentielles graduées commutatives », K-Theory 4 (1991), p. 399-410. | MR | Zbl

[33] M. Vigué-Poirrier & D. Burghelea - « A model for cyclic homology and algebraic K-theory of 1-connected topological spaces », J. Differential Geom. 22 (1985), p. 243-253. | MR | Zbl

[34] M. Vigué-Poirrier & D. Sullivan - « The homology theory of the closed geodesic problem », J. Differential Geometry 11 (1976), p. 633-644. | MR | Zbl

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