On some completions of the space of hamiltonian maps

Humilière, Vincent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 3, pp. 373-404.

Dans un de ses articles, C. Viterbo définit une distance sur l’ensemble des difféomorphismes hamiltoniens de ${ℝ}^{2n}$, muni de sa forme symplectique standard ${\omega }_0=dp\wedge dq$. Nous étudions les complétés de cet espace pour la topologie induite par la distance de Viterbo, ainsi que d’autres qui en sont dérivées. Nous explicitons leurs différentes inclusions et donnons certaines de leur propriétés. En particulier, nous donnons un critère de convergence pour ces distances qui nous permet de montrer que les complétés contiennent des éléments intéressants, comme, par exemple, des hamiltoniens discontinus. Nous prouvons aussi que certains aspects de la dynamique hamiltonienne sont préservés dans les complétés.

In one of his papers, C. Viterbo defined a distance on the set of Hamiltonian diffeomorphisms of ${ℝ}^{2n}$ endowed with the standard symplectic form ${\omega }_0=dp\wedge dq$. We study the completions of this space for the topology induced by Viterbo’s distance and some others derived from it, we study their different inclusions and give some of their properties. In particular, we give a convergence criterion for these distances that allows us to prove that the completions contain non-ordinary elements, as for example, discontinuous Hamiltonians. We also prove that some dynamical aspects of Hamiltonian systems are preserved in the completions.

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[15] -, « Symplectic topology as the geometry of generating functions », Math. Annalen 292 (1992), p. 685-710. | MR | Zbl