Nonlinear Schrödinger equation on four-dimensional compact manifolds
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 138 (2010) no. 1, p. 119-151

We prove two new results about the Cauchy problem in the energy space for nonlinear Schrödinger equations on four-dimensional compact manifolds. The first one concerns global well-posedness for Hartree-type nonlinearities and includes approximations of cubic NLS on the sphere as a particular case. The second one provides, in the case of zonal data on the sphere, local well-posedness for quadratic nonlinearities as well as a necessary and sufficient condition of global well-posedness for small energy data in the Hamiltonian case. Both results are based on new multilinear Strichartz-type estimates for the Schrödinger group.

Nous démontrons deux résultats concernant le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie pour des équations de Schrödinger non linéaires sur des variétés compactes de dimension 4. Le premier établit le caractère globalement bien posé pour des seconds membres du type de Hartree et contient comme cas particulier certaines régularisations de l'équation cubique sur la sphère. Le second résultat fournit, dans le cas de données zonales sur la sphère, le caractère localement bien posé pour des seconds membres quadratiques, ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante à l'existence globale lorsque les données sont assez petites et que l'équation est hamiltonienne. Chacun de ces résultats est fondé sur de nouvelles estimations multilinéaires du type de Strichartz pour le groupe de Schrödinger.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2586
Classification:  35Q55,  35BXX,  37K05,  37L50,  81Q20
Keywords: nonlinear Schrödinger, eigenfunction estimates, dispersive equations
@article{BSMF_2010__138_1_119_0,
     author = {G\'erard, Patrick and Pierfelice, Vittoria},
     title = {Nonlinear Schr\"odinger equation on four-dimensional compact manifolds},
     journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {138},
     number = {1},
     year = {2010},
     pages = {119-151},
     doi = {10.24033/bsmf.2586},
     zbl = {1183.35251},
     mrnumber = {2638892},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/BSMF_2010__138_1_119_0}
}
Gérard, Patrick; Pierfelice, Vittoria. Nonlinear Schrödinger equation on four-dimensional compact manifolds. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 138 (2010) no. 1, pp. 119-151. doi : 10.24033/bsmf.2586. http://www.numdam.org/item/BSMF_2010__138_1_119_0/

[1] Mathematical aspects of nonlinear dispersive equations - Annals of Mathematics Studies, vol. 163, Princeton University Press, 2007. | MR 2332225 | Zbl 1143.35001

[2] A. L. Besse - Manifolds all of whose geodesics are closed, Ergebnisse Math. Grenzg., vol. 93, Springer, 1978. | MR 496885 | Zbl 0387.53010

[3] J. Bourgain - « Exponential sums and nonlinear Schrödinger equations », Geom. Funct. Anal. 3 (1993), p. 157-178. | MR 1209300 | Zbl 0787.35096

[4] -, « Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations. I. Schrödinger equations », Geom. Funct. Anal. 3 (1993), p. 107-156. | MR 1209299 | Zbl 0787.35098

[5] -, Global solutions of nonlinear Schrödinger equations, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 46, Amer. Math. Soc., 1999. | Zbl 0933.35178

[6] N. Burq, P. Gérard & N. Tzvetkov - « The Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equation on compact manifolds », in Phase space analysis of partial differential equations. Vol. I, Pubbl. Cent. Ric. Mat. Ennio Giorgi, Scuola Norm. Sup., 2004, p. 21-52. | Zbl 1084.35086

[7] -, « Multilinear estimates for the Laplace spectral projectors on compact manifolds », C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), p. 359-364. | MR 2057164 | Zbl 1040.58011

[8] -, « Strichartz inequalities and the nonlinear Schrödinger equation on compact manifolds », Amer. J. Math. 126 (2004), p. 569-605. | MR 2058384 | Zbl 1067.58027

[9] -, « Bilinear eigenfunction estimates and the nonlinear Schrödinger equation on surfaces », Invent. Math. 159 (2005), p. 187-223. | MR 2142336 | Zbl 1092.35099

[10] -, « Multilinear eigenfunction estimates and global existence for the three dimensional nonlinear Schrödinger equations », Ann. Sci. École Norm. Sup. 38 (2005), p. 255-301. | Numdam | MR 2144988 | Zbl 1116.35109

[11] T. Cazenave - Semilinear Schrödinger equations, Courant Lecture Notes in Math., vol. 10, New York University Courant Institute of Mathematical Sciences, 2003. | Zbl 1055.35003

[12] P. Gérard - « Nonlinear Schrödinger equations on compact manifolds », in European Congress of Mathematics, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005, p. 121-139. | Zbl 1076.35115

[13] -, « Nonlinear Schrödinger equations in inhomogeneous media: wellposedness and illposedness of the Cauchy problem », in International Congress of Mathematicians. Vol. III, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, p. 157-182. | MR 2275675 | Zbl 1106.35096

[14] J. Ginibre - « Le problème de Cauchy pour des EDP semi-linéaires périodiques en variables d'espace (d'après Bourgain) », Astérisque 237 (1996), p. 163-187, Séminaire Bourbaki, vol. 1994/95, exposé no 796. | Numdam | MR 1423623 | Zbl 0870.35096

[15] J. Ginibre & G. Velo - « The global Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equation revisited », Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985), p. 309-327. | Numdam | MR 801582 | Zbl 0586.35042

[16] T. Kato - « On nonlinear Schrödinger equations », Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 46 (1987), p. 113-129. | Numdam | Zbl 0632.35038

[17] E. Ryckman & M. Visan - « Global well-posedness and scattering for the defocusing energy-critical nonlinear Schrödinger equation in 1+4 », Amer. J. Math. 129 (2007), p. 1-60. | MR 2288737 | Zbl 1160.35067

[18] C. D. Sogge - « Oscillatory integrals and spherical harmonics », Duke Math. J. 53 (1986), p. 43-65. | MR 835795 | Zbl 0636.42018