Transformée de Radon semi-globale

Benchoufi, Mehdi

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 2, pp. 145-161.

Dans cet article, nous nous proposons d’étudier le noyau, l’image et une éventuelle formule d’inversion de la transformation de Radon réelle dans les domaines linéairement concaves. Nous rappelons que, dans ${ℝ}^2$, on sait reconstruire une fonction à partir de sa transformation de Radon lorsque celle-ci est connue le long de toutes les droites de l’espace. Notre propos sera, en quelque sorte, d’établir une version semi-globale de ce résultat. Nous verrons ainsi que, modulo un noyau que nous préciserons, constitué de sauts de fonctions holomorphes, chacune définie sur un « wedge » et vérifiant dans leurs domaines respectifs une majoration en $𝒪\left(\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ lorsque $\left|z\right|$ tend vers l’infini, une formule d’inversion est accessible dès lors que la transformation de Radon n’est connue qu’au voisinage d’une droite.

In this article, we mean to study the kernel, the image and a possible inversion formula for the real Radon transform in linearly concave domains. We recall that, in ${ℝ}^2$, we know how to reconstruct a function from its Radon transform when the latest is known all along every lines of the space. Our purpose will be somehow to establish a semi-global analogue of this result. In this way, we will see that, modulo a kernel we will precise, consisting of jumps of holomorphic functions, each of which is defined upon a “ wedge ” and submitted to an estimation in $𝒪\left(\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ when $\left|z\right|$ tends to infinity, an inversion formula is reachable as soon as the Radon transform is known in the neighbourhood of a line.

Classification : 32A26, 44A12
Mot clés : transformée de Radon, semi-globale, analyse complexe
Keywords: Radon transform, semi-global, complex analysis

[1] J. Boman - « Holmgren's uniqueness theorem and support theorems for real analytic Radon transforms », in Geometric analysis (Philadelphia, PA, 1991), Contemp. Math., vol. 140, Amer. Math. Soc., 1992, p. 23-30. | MR | Zbl

[2] A. M. Cormack - « Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications », J. Appl. Phys. 34 (1963), p. 2722-2727. | Zbl

[3] P. Funk - « Über eine geometrische Anwendung der abelschen Integralgleichung », Math. Ann. 77 (1915), p. 129-135. | JFM | MR

[4] I. M. GelʼFand, M. I. Graev & N. Y. Vilenkin - Generalized functions. Vol. 5 : Integral geometry and representation theory, Academic Press, 1966. | MR | Zbl

[5] S. G. Gindikin & G. M. Henkin - « Integral geometry for $\overline{\partial }$-cohomology in $q$-linearly concave domains in ${\mathrm{CP}}^n$ », Funktsional. Anal. i Prilozhen. 12 (1978), p. 6-23. | MR | Zbl

[6] S. Helgason - « A duality in integral geometry ; some generalizations of the Radon transform », Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), p. 435-446. | MR | Zbl

[7] G. M. Henkin - « Abel-Radon transform and applications », in The legacy of Niels Henrik Abel, Springer, 2004, p. 567-584. | MR | Zbl

[8] G. M. Henkin & P. L. Polyakov - « Residue integral formulas and the Radon transform for differential forms on $q$-linearly concave domains », Math. Ann. 286 (1990), p. 225-254. | MR | Zbl

[9] F. John - « Abhängigkeiten zwischen den Flächenintegralen einer stetigen Funktion », Math. Ann. 111 (1935), p. 541-559. | JFM | MR

[10] Ȧ. Kolm & B. Nagel - « A generalized edge of the wedge theorem », Comm. Math. Phys. 8 (1968), p. 185-203. | MR | Zbl

[11] A. Martineau - « Equations différentielles d'ordre infini », Bull. Soc. Math. France 95 (1967), p. 109-154. | Numdam | MR | Zbl

[12] J. Radon - « Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten », in Computed tomography (Cincinnati, Ohio, 1982), Proc. Sympos. Appl. Math., vol. 27, Amer. Math. Soc., 1982, p. 71-86. | MR | Zbl

[13] V. S. Vladimirov - « Construction of envelopes of holomorphy for a special kind of region », Soviet Math. Dokl. 1 (1960), p. 1039-1042. | MR | Zbl