An abcd theorem over function fields and applications
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 139 (2011) no. 4, p. 437-454

We provide a lower bound for the number of distinct zeros of a sum 1+u+v for two rational functions u,v, in term of the degree of u,v, which is sharp whenever u,v have few distinct zeros and poles compared to their degree. This sharpens the “abcd-theorem” of Brownawell-Masser and Voloch in some cases which are sufficient to obtain new finiteness results on diophantine equations over function fields. For instance, we show that the Fermat-type surface x a +y a +z c =1 contains only finitely many rational or elliptic curves, provided a10 4 and c2; this provides special cases of a known conjecture of Bogomolov.

Nous démontrons une minoration pour le nombre de zéros distincts d’une somme 1+u+v, u,v étant deux fonctions rationnelles, en fonction du degré de u et v ; cette minoration est forte si le nombre de zéros et poles de u,v est suffisament petit par rapport à leur degré. Dans certains cas, on obtient une amélioration de l’inégalité de Voloch et Brownawell-Masser, qui entraîne des nouveaux résultats de finitude sur les équations diophantiennes sur les corps de fonctions. Par exemple, nous démontrons que la surface de type Fermat définie par l’équation x a +y a +z c =1 ne contient qu’un nombre fini de courbes rationnelles ou elliptiques, dès que a10 4 et c2. Ce résultat constitue un cas particulier d’une célèbre conjecture de Bogomolov.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2613
Keywords: abc conjecture, function fields, curves on algebraic surfaces, S-units
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Corvaja, Pietro; Zannier, Umberto. An $abcd$ theorem over function fields and applications. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 139 (2011) no. 4, pp. 437-454. doi : 10.24033/bsmf.2613. http://www.numdam.org/item/BSMF_2011__139_4_437_0/

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