[Singularities at infinity and motivic integration]
Let be a field of characteristic zero and be a non constant function defined on a smooth variety. We construct in this article a motivic Milnor fiber at infinity which belongs to a Grothendieck ring of varieties. It is defined in terms of a chosen compactification, not necessary smooth, but is shown to be independent of this choice. When is the field of complex numbers, using the Hodge realization morphism, it specializes to the spectrum at infinity of . As an example, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value , we define a complete motivic Milnor fiber . This object is an extension of the usual motivic Milnor fiber . Then we introduce motivic atypical values, a motivic bifurcation set of and a notion of motivically tame function.
Soit un corps de caractéristique nulle et une fonction non constante définie sur une variété lisse. Nous définissons dans cet article une fibre de Milnor motivique à l'infini qui appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d’une compactification choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. Lorsque est le corps des nombres complexes, en utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, elle se réalise en le spectre à l’infini de . Nous la calculons par exemple, dans le cas d’un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. Pour toute valeur , nous définissons une fibre de Milnor motivique complète qui prolonge la fibre de Milnor motivique usuelle . Ceci permet d’introduire des valeurs motiviquement atypiques, un ensemble de bifurcation motivique de et une notion de fonction motiviquement modérée.
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Raibaut, Michel. Singularités à l'infini et intégration motivique. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 140 (2012) no. 1, pp. 51-100. doi : 10.24033/bsmf.2624. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2624/
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