Nous établissons des formes normales pour les champs conformes sur une variété pseudo-riemannienne, au voisinage d'une singularité. Sur une variété lorentzienne analytique, nous montrons qu'ou bien un tel champ est linéarisable au voisinage de la singularité, ou bien la variété est conformément plate. Dans tous les cas, le champs est localement conjugué à une forme normale sur un espace modèle. Pour des métriques lisses de signature quelconque, nous obtenons un résultat analogue sous l'hypothèse supplémentaire que la différentielle du flot au point fixe est bornée.
We establish normal forms for conformal vector fields on pseudo-Riemannian manifolds in the neighborhood of a singularity. For real-analytic Lorentzian manifolds, we show that the vector field is analytically linearizable or the manifold is conformally flat. In either case, the vector field is locally conjugate to a normal form on a model space. For smooth metrics of general signature, we obtain the analogous result under the additional assumption that the differential of the flow at the fixed point is bounded.
Mot clés : champs de vecteurs conformes, structures pseudo-riemanniennes
Keywords: conformal vector fields, pseudo-riemannian structures
@article{BSMF_2013__141_3_377_0,
author = {Frances, Charles and Melnick, Karin},
title = {Formes normales pour les champs conformes pseudo-riemanniens},
journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
pages = {377--421},
publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
volume = {141},
number = {3},
year = {2013},
doi = {10.24033/bsmf.2652},
language = {fr},
url = {http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2652/}
}
TY - JOUR AU - Frances, Charles AU - Melnick, Karin TI - Formes normales pour les champs conformes pseudo-riemanniens JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2013 SP - 377 EP - 421 VL - 141 IS - 3 PB - Société mathématique de France UR - http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2652/ DO - 10.24033/bsmf.2652 LA - fr ID - BSMF_2013__141_3_377_0 ER -
%0 Journal Article %A Frances, Charles %A Melnick, Karin %T Formes normales pour les champs conformes pseudo-riemanniens %J Bulletin de la Société Mathématique de France %D 2013 %P 377-421 %V 141 %N 3 %I Société mathématique de France %U http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2652/ %R 10.24033/bsmf.2652 %G fr %F BSMF_2013__141_3_377_0
Frances, Charles; Melnick, Karin. Formes normales pour les champs conformes pseudo-riemanniens. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 3, pp. 377-421. doi : 10.24033/bsmf.2652. http://archive.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2652/
[1] - « Groups of conformal transformations of Riemannian spaces », Mat. Sb. (N.S.) 89 (131) (1972), p. 280-296. | EuDML | MR | Zbl
[2] , , , & - « A primer on the Einstein universe », in Recent developments in pseudo-Riemannian geometry, ESI Lect. Math. Phys., Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, p. 179-229. | MR | Zbl
[3] - Einstein manifolds, Ergebn. Math. Grenzg., vol. 10, Springer, 1987. | MR | Zbl
[4] & - « Essential Killing fields of parabolic geometries », à paraître dans Indiana Univ. Math. J. | MR | Zbl
[5] - « Conformal vector fields and non-degenerate distributions », Classical Quantum Gravity 13 (1996), p. 1717-1726. | MR | Zbl
[6] -, « Essential conformal vector fields », Classical Quantum Gravity 16 (1999), p. 927-935. | MR | Zbl
[7] - « Géométrie et dynamique lorentziennes conformes », thèse de doctorat, École normale supérieure de Lyon, 2002.
[8] -, « Causal conformal vector fields, and singularities of twistor spinors », Ann. Global Anal. Geom. 32 (2007), p. 277-295. | MR | Zbl
[9] -, « Dégénerescence locale des transformations pseudo-riemanniennes conformes », Ann. Inst. Fourier 62 (2012), p. 1627-1669. | Numdam | MR | Zbl
[10] -, « Local dynamics of conformal vector fields », Geom. Dedicata 158 (2012), p. 35-59. | MR
[11] & - « Conformal actions of nilpotent groups on pseudo-Riemannian manifolds », Duke Math. J. 153 (2010), p. 511-550. | MR
[12] - « Rigid transformations groups », in Géométrie différentielle (Paris, 1986), Travaux en Cours, vol. 33, Hermann, 1988, p. 65-139. | MR
[13] , & - « Zeros of conformal vector fields », Classical Quantum Gravity 14 (1997), p. 49-52. | MR
[14] - Transformation groups in differential geometry, Classics in Mathematics, Springer, 1995. | MR
[15] & - « Essential conformal fields in pseudo-Riemannian geometry », J. Math. Pures Appl. 74 (1995), p. 453-481. | MR
[16] -, « Conformal vector fields on pseudo-Riemannian spaces », Differential Geom. Appl. 7 (1997), p. 237-250. | MR
[17] -, « Essential conformal fields in pseudo-Riemannian geometry. II », J. Math. Sci. Univ. Tokyo 4 (1997), p. 649-662. | MR
[18] - « A Frobenius theorem for Cartan geometries, with applications », Enseign. Math. 57 (2011), p. 57-89. | MR
[19] - Ratner's theorems on unipotent flows, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 2005. | MR
[20] & - « On compact Riemannian manifolds admitting essential projective transformations », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 33 (1986), p. 233-246. | MR
[21] - Differential geometry, Graduate Texts in Math., vol. 166, Springer, 1997. | MR
[22] - Linear algebraic groups, second éd., Progress in Math., vol. 9, Birkhäuser, 1998. | MR
[23] - « Conformal vector fields on spacetimes », Ann. Global Anal. Geom. 29 (2006), p. 293-317. | MR
Cité par Sources :
