Sur un problème non linéaire pour la divergence et le déterminant

Dacorogna, B.

Confluentes Mathematici, Tome 7 (2015) no. 2, pp. 49-56.

On étudie dans cet article, dédié à Denis Serre pour ses soixante ans, les problèmes

$$\left\{\begin{array}{cc}divu=f\left(x,u,\nabla u\right)& \text{dans}\Omega \hfill \\ u=u_0& \text{sur}\partial \Omega \hfill \end{array}\right.$$

et

$$\left\{\begin{array}{cc}det\nabla \varphi =f\left(x,\varphi ,\nabla \varphi \right)& x\in \Omega \hfill \\ \varphi \left(x\right)=x& x\in \partial \Omega .\hfill \end{array}\right.$$

On montre que sous des hypothèses appropriées les deux problèmes sont résolubles sans conditions intégrales.

In this paper, dedicated to Denis Serre on the occasion of his 60${}^{th}$ birthday, we study the problems

$$\left\{\begin{array}{cc}divu=f\left(x,u,\nabla u\right)& \text{in}\Omega \hfill \\ u=u_0& \text{on}\partial \Omega \hfill \end{array}\right.$$

and

$$\left\{\begin{array}{cc}det\nabla \varphi =f\left(x,\varphi ,\nabla \varphi \right)& x\in \Omega \hfill \\ \varphi \left(x\right)=x& x\in \partial \Omega .\hfill \end{array}\right.$$

We show that under appropriate hypotheses the two problems are soluble without integral conditions.

Classification : 58-02, 35F50, 58A10

[1] Basterrechea S., thèse EPFL 6693 (2015).

[2] Basterrechea S. et Dacorogna B., Existence of solutions for Jacobian and Hessian equations under smallness assumptions, Numerical Functional Analysis and Optimization, 35 (2014), 868-892.

[3] Csató G. et Dacorogna B., A Dirichlet problem involving the divergence operator, à paraître dans Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire.

[4] Csató G., Dacorogna B. et Kneuss O., The pullback equation for differential forms, Birkhaüser, 2012.

[5] Dacorogna B. et Moser J., On a partial differential equation involving the Jacobian determinant, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 7 (1990), 1–26.