Conditions de Bohr-Sommerfeld pour les singularités focus-focus et monodromie quantique
Journées équations aux dérivées partielles (1998), article no. 14, 13 p.

Je présenterai les résultats d’une étude microlocale détaillée du spectre joint de deux opérateurs h-pseudo-différentiels qui commutent sur une variété de dimension deux en présence d’une singularité dite «focus-focus». L’étude couvre par exemple le cas du pendule sphérique étudié par Duistermaat, ou du fond de la bouteille de champagne, mais les phénomènes observés sont universels. On en observe principalement deux: une accumulation de valeurs propres au voisinage de la singularité en O(log(h)) par rapport au cas régulier, des phénomènes globaux autour de la singularité liés à la monodromie du système. L’étude s’inspire des travaux de Y. Colin de Verdière et B. Parisse et s’appuie sur l’écriture de conditions du type Bohr-Sommerfeld adaptées à la singularité. Les résultats seront illustrés en utilisant des calculs numériques de valeurs propres effectués par M.S. Child dans le cas de la bouteille de champagne.

@incollection{JEDP_1998____A14_0,
     author = {V\~{u} Ngọc, San},
     title = {Conditions de {Bohr-Sommerfeld} pour les singularit\'es focus-focus et monodromie quantique},
     booktitle = {},
     series = {Journ\'ees \'equations aux d\'eriv\'ees partielles},
     eid = {14},
     pages = {1--13},
     publisher = {Universit\'e de Nantes},
     year = {1998},
     mrnumber = {2000f:58062},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/JEDP_1998____A14_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Vũ Ngọc, San
TI  - Conditions de Bohr-Sommerfeld pour les singularités focus-focus et monodromie quantique
JO  - Journées équations aux dérivées partielles
PY  - 1998
SP  - 1
EP  - 13
PB  - Université de Nantes
UR  - http://archive.numdam.org/item/JEDP_1998____A14_0/
LA  - fr
ID  - JEDP_1998____A14_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Vũ Ngọc, San
%T Conditions de Bohr-Sommerfeld pour les singularités focus-focus et monodromie quantique
%J Journées équations aux dérivées partielles
%D 1998
%P 1-13
%I Université de Nantes
%U http://archive.numdam.org/item/JEDP_1998____A14_0/
%G fr
%F JEDP_1998____A14_0
Vũ Ngọc, San. Conditions de Bohr-Sommerfeld pour les singularités focus-focus et monodromie quantique. Journées équations aux dérivées partielles (1998), article  no. 14, 13 p. http://archive.numdam.org/item/JEDP_1998____A14_0/

[1] A.-M. Charbonnel. Comportement semi-classique du spectre conjoint d'opérateurs pseudo-différentiels qui commutent. Asymptotic Analysis, 1:227-261, 1988. | MR | Zbl

[2] M.S. Child. Quantum states in a Champagne bottle. J. Phys. A., 31:657-670, 1998. | MR | Zbl

[3] Y. Colin De Verdière. Spectre conjoint d'opérateurs pseudo-différentiels qui commutent II. Mathematische Zeitschrift, 171:51-73, 1980. | MR | Zbl

[4] Y. Colin De Verdière and B. Parisse. Équilibre instable en régime semi-classique I : Concentration microlocale. Communications in partial differential equations, 19(9-10):1535-1563, 1994. | MR | Zbl

[5] Y. Colin De Verdière and B. Parisse. Équilibre instable en régime semi-classique II : Conditions de Bohr-Sommerfeld. Annales de l'Institut Henri Poincaré, Physique Théorique, 61(3):347-367, 1994. | Numdam | MR | Zbl

[6] R. Cushman and J.J. Duistermaat. The quantum spherical pendulum. Bulletin of the AMS (new series), 19:475-479, 1988. | MR | Zbl

[7] J.J. Duistermaat. On global action-angle variables. Communications on Pure and Applied Mathematics, 33:687-706, 1980. | MR | Zbl

[8] J.J. Duistermaat and L. Hörmander. Fourier integral operators II. Acta mathematica, 128:183-269, 1972. | MR | Zbl

[9] I.M. Gelfand, M.I. Graev, and N.Ja. Vilenkin. Les Distributions, volume 5. Dunod, 1962. | Zbl

[10] B. Helffer and J. Sjöstrand. Multiple wells in the semi-classical limit. I. Communications in Partial Differential Equations, 9:337-408, 1984. | Zbl

[11] B. Helffer and J. Sjöstrand. Semi-classical analysis for Harper's equation III Cantor structure of the spectrum. Mémoires de la Société Mathématique de France, 39, 1998. | EuDML | Numdam | Zbl

[12] B. Simon. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues I. Ann. Inst. H. Poincaré. Phys. Théor., 38(3):295-307, 1983. a correction in 40:224. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[13] J. Sjöstrand. Semi-excited states in nondegenerate potential wells. Asymptotic Analysis, 6:29-43, 1992. | MR | Zbl

[14] S. Vũ Ngoc. Formes normales semi-classiques des systèmes complètement intégrables au voisinage d'un point critique de l'application moment. preprint Institut Fourier 377, 1997.

[15] S. Vũ Ngoc. Quantum monodromy in integrable systems. preprint Utrecht University 1055, 1998.

[16] S. Vũ Ngoc. Bohr-Sommerfeld conditions for integrable systems with critical manifolds of focus-focus type. preprint. | Zbl

[17] Maorong Zou. Monodromy in two degrees of freedom integrable systems. Journal of Geometry and Physics, 10:37-45, 1992. | MR | Zbl