Parois et vortex en micromagnétisme
Journées équations aux dérivées partielles, (2002), article no. 14, 15 p.

Nous présenterons l’énergie libre modélisant les états (polarisations) des matériaux ferromagnétiques. Le problème variationnel associé contient de nombreux régimes asymptotiques dans lesquels «on voit» se former des défauts du type vortex, du type paroi (Bloch et Neel Walls) ou du type mixte paroi-vortex (Cross-Tie Walls). Le but de cet exposé est de présenter les travaux qui s’efforcent de donner une justification mathématique à la création de ces singularités. Nous décrirons l’insuffisance des méthodes classiques de l’analyse fonctionnelle linéaire à rendre compte de ces phénomènes de perte de régularité et introduirons une approche mettant en oeuvre des outils de la théorie de la mesure géométrique appliqués à l’analyse des équations aux dérivées partielles. L’analyse des défauts en micromagnétisme a suscité des questions théoriques sur les lois de conservation scalaires non-linéaires. Nous présenterons à cette occasion un résultat récent généralisant le phénomène de régularisation de Lax-Oleinick pour les lois scalaire à non-linéarité strictement convexe u t+f(u) x=0 (0$">f">0), au cas où la distribution entropique de sauts n’est pas forcément de signe uniforme mais est une mesure signée quelconque : pour tout S dans C 2 , S(u) t+Φ(u) x est une mesure de Radon ((S,Φ) paire entropie flux : Φ ' =S ' f ' ). Nous démontrons alors que dans ce cas, en dimension 1+1, pour une donnée initiale mesurable et bornée quelconque, les ondes de chocs sont contenues dans une union au plus dénombrable de courbes C 1 .

@article{JEDP_2002____A14_0,
     author = {Rivi\`ere, Tristan},
     title = {Parois et vortex en micromagn\'etisme},
     journal = {Journ\'ees \'equations aux d\'eriv\'ees partielles},
     publisher = {Universit\'e de Nantes},
     year = {2002},
     doi = {10.5802/jedp.612},
     mrnumber = {1968210},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/JEDP_2002____A14_0}
}
Rivière, Tristan. Parois et vortex en micromagnétisme. Journées équations aux dérivées partielles,  (2002), article  no. 14, 15 p. doi : 10.5802/jedp.612. http://www.numdam.org/item/JEDP_2002____A14_0/

[ARS] F. Alouges, T. Rivière and S. Serfaty, "Néel Walls and Cross-tie Walls for micromagnetic materials having a strong planar anisotropy", COCV (2002), Volume à la mémoire de J.L.Lions.

[ADM] L. Ambrosio, C. De Lellis, and C. Mantegazza, "Line energies for gradient vector fields in the plane", Calc. Var. PDE 9 (1999) 4, 327-355. | MR 1731470 | Zbl 0960.49013

[AFP] L. Ambrosio, N. Fusco, and D. Pallara, "Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems", Oxford University Press, (2000). | MR 1857292 | Zbl 0957.49001

[AKLR] L. Ambrosio, B. Kirchheim, M. Lecumberry and T. Rivière "Rectifiability of defect measures arising in micromagnetic domains" Volume dedicated to the 80th birthday of O.Ladyzhenskaya, Kluwer Academic (2002). | MR 1971988 | Zbl 01985312

[ALR] L. Ambrosio, M. Lecumberry and T. Rivière, A viscosity property of minimizing micromagnetic configurations, submitted, (2002). | MR 1959737 | Zbl 1121.35309

[AG1] P. Aviles and Y. Giga, A mathematical problem related to the physical theory of liquid crystals configurations, Proc. Centre Math. Anal. Austral. Nat. Univ., 12, (1987), 1-16. | MR 924423

[AG2] P. Aviles and Y. Giga, On lower semicontinuity of a defect obtained by a singular limit of the Ginzburg-Landau type energy for gradient fields, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec A, 129, (1999), 1-17. | MR 1669225 | Zbl 0923.49008

[Da] C.M. Dafermos "Generalized characteristics and the structure of solutions of hyperbolic conservation laws" Indiana University Math. J. 26 (1977) 1097-1119. | MR 457947 | Zbl 0377.35051

[DKMO1] A. Desimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, A compactness result in the gradient theory of phase transitions, to appear in Proc. Royal Soc. Edinburgh. | MR 1854999 | Zbl 0986.49009

[DKMO2] A. Desimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, "Magnetic microstructures, a paradigm of multiscale problems", to appear in Proceedings of ICIAM, (1999). | MR 1824443 | Zbl 0991.82038

[DKMO3] A Desimone, R.V. Kohn, S. Müller and F. Otto, "A reduced theory for thin-film micromagnetics" to appear in CPAM (2002). | MR 1916988 | Zbl 1027.82042

[Di] R.J. Diperna "The structure of solutions to hyperbolic conservation laws" Non linear analysis and mechanics : Heriot-Watt Symposium, Vol IV Res. Notes in Math. 39 Pitman, Boston (1979) 1-16. | MR 584395 | Zbl 0434.35061

[DLM] R. Diperna, P.L. Lions and Y. Meyer " L p regularity of velocity averages" Annales IHP, Analyse non linéaire, 8, (1991), 271-287. | Numdam | MR 1127927 | Zbl 0763.35014

[HS] A. Hubert and R. Schäfer "Magnetic domains; the analysis of Magnetic Microstructures" Springer (1998).

[JP1] P.E. Jabin and B. Perthame, "Compactness in Ginzburg-Landau energy by kinetic averaging" Comm. Pure Appl. Math., 54, (2001), no 9, 1096-1109. | MR 1835383 | Zbl 01860546

[JP2] P.E. Jabin and B. Perthame, "Regularity in kinetic formulations via averaging lemmas" prépublication (2002). | Numdam | MR 1932972

[La] P.D. Lax "Hyperbolic systems of conservation laws II" Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957) 537-566. XIV-14 | MR 93653 | Zbl 0081.08803

[LR1] M. Lecumberry and T. Rivière, "Regularity for micromagnetic configurations having zero jump energy", to appear in Calc. of Var. and P.D.E. (2002). | MR 1938820 | Zbl 1021.35023

[LR2] M. Lecumberry and T. Rivière, "Rectifiability of Shock waves for some nonlinear hyperbolic conservation laws" prépublication (2002).

[LPT] P.L. Lions, B. Perthame and E. Tadmor "A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations" J. A.M.S., 7 (1994), no7, 169-191. | MR 1201239 | Zbl 0820.35094

[Ol] O. Oleinik, "The cauchy problem for non-linear equations in a class of discontinuous functions" Dokl. Akad. Nauk SSSR 95 (1954), 451-454. English transl : AMS Trans. Ser.2 42, AMS, Providence, RI, (1964), 7-12. | MR 164137 | Zbl 0154.10801

[Pe] B. Perthame "Uniqueness and error estimates in first order quasilinear conservation laws via the kinetic entropy defect measure" J. Math. Pures Appl. 77, (1998), 1055-1064. | MR 1661021 | Zbl 0919.35088

[RS1] T. Rivière and S. Serfaty, "Limiting Domain Wall Energy for a Problem Related to Micromagnetics", Comm. Pure Appl. Math., 54, (2001), 294-338. | MR 1809740 | Zbl 1031.35142

[RS2] T. Rivière and S. Serfaty, "Compactness, kinetic formulation and entropies for a problem related to micromagnetics", to appear in Comm. P.D.E. (2002). | MR 1974456 | Zbl 01909262

[Ta] L. Tartar "Compensated compactness and applications to partial differential equations" Non linear analysis and mechanics : Heriot-Watt Symposium, Vol IV Res. Notes in Math. 39 Pitman, Boston (1979) | MR 584398 | Zbl 0437.35004