Euler-Poincaré pairing, Dirac index and elliptic pairing for Harish-Chandra modules

Renard, David

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 3 (2016), pp. 209-229.

Soit $G$ un groupe réductif réel connexe et soit $K$ un sous-groupe compact maximal que l’on suppose de même rang. Nous relions trois accouplements entre modules de Harish-Chandra de longueur finie $X$ et $Y$ : l’accouplement d’Euler-Poincaré, l’accouplement naturel entre les indices de Dirac de $X$ et $Y$ et l’accouplement elliptique d’Arthur [2] (l’indice de Dirac ${\mathsf{I}}_{\mathrm{Dir}}\left(X\right)$ est une représentation virtuelle de dimension finie de $\tilde{K}$, le revêtement Spin à deux feuillets de $K$). Nous construisons des fonctions indices $f_X$ pour tout module de Harish-Chandra de longueur finie $X$. Chacune de ces fonctions est très cuspidale au sens de Labesse, et son intégrale orbitale coïncide sur les éléments elliptiques avec le caractère de $X$. De ceci nous déduisons que l’accouplement naturel des indices de Dirac coïncide avec l’accouplement elliptique. Une analogie avec le cas des algèbres de Hecke considéré dans [8] et [7] et un calcul formel (mais non rigoureux) nous ont amenés à conjecturer que les deux premiers accouplements coïncident eux aussi. Nous montrons qu’ils peuvent tout deux être exprimés comme indices de paires de Fredholm (définis ici dans un sens algébrique) d’opérateurs agissant sur les même espaces. Récemment Huang et Sun ont établi l’égalité entre accouplement d’Euler-Poincaré et accouplement elliptique, démontrant ainsi directement l’analogue d’un résultat de Schneider et Stuhler pour les groupes $p$-adiques [25].

Let $G$ be a connected real reductive group with maximal compact subgroup $K$ of equal rank, and let $ℳ$ be the category of Harish-Chandra modules for $G$. We relate three differently defined pairings between two finite length modules $X$ and $Y$ in $ℳ$: the Euler-Poincaré pairing, the natural pairing between the Dirac indices of $X$ and $Y$, and the elliptic pairing of [2]. (The Dirac index ${\mathsf{I}}_{\mathrm{Dir}}\left(X\right)$ is a virtual finite-dimensional representation of $\tilde{K}$, the spin double cover of $K$.) We construct index functions $f_X$ for any finite length Harish-Chandra module $X$. Each of these functions is very cuspidal in the sense of Labesse, and its orbital integral on elliptic elements coincides with the character of $X$. From this we deduce that the Dirac index pairing coincide with the elliptic pairing. Analogy with the case of Hecke algebras studied in [8] and [7] and a formal (but not rigorous) computation led us to conjecture that the first two pairings coincide. We show that they are both computed as the indices of Fredholm pairs (defined here in an algebraic sense) of operators acting on the same spaces. Recently, Huang and Sun have established the equality between the Euler-Poincaré and the elliptic pairing, thereby proving directly the analogue of a result of Schneider and Stuhler for $p$-adic groups [25].

Classification : 22E46, 22E47
Keywords: Harish-Chandra module, elliptic representation, Euler-Poincaré pairing, elliptic pairing, Dirac cohomology
Mot clés : Module de Harish-Chandra, représentation elliptique, accouplement d’Euler-Poincaré, accouplement elliptique, cohomologie de Dirac

[1] Ambrozie, C.-G. On Fredholm index in Banach spaces, Integral Equations Operator Theory, Volume 25 (1996) no. 1, pp. 1-34 | DOI | MR

[2] Arthur, J. On elliptic tempered characters, Acta Math., Volume 171 (1993) no. 1, pp. 73-138 | DOI | MR | Zbl

[3] Atiyah, M.; Schmid, W. A geometric construction of the discrete series for semisimple Lie groups, Invent. Math., Volume 42 (1977), pp. 1-62 | DOI | MR | Zbl

[4] Blanc, Ph.; Brylinski, J.-L. Cyclic homology and the Selberg principle, J. Funct. Anal., Volume 109 (1992) no. 2, pp. 289-330 | DOI | MR | Zbl

[5] Bouaziz, A. Intégrales orbitales sur les groupes de Lie réductifs, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 27 (1994) no. 5, pp. 573-609 | DOI | Numdam | Zbl

[6] Bouaziz, A. Formule d’inversion des intégrales orbitales sur les groupes de Lie réductifs, J. Funct. Anal., Volume 134 (1995) no. 1, pp. 100-182 | DOI | MR | Zbl

[7] Ciubotaru, D. M.; Opdam, E.; Trapa, P. E. Algebraic and analytic Dirac induction for graded affine Hecke algebras (2012) (arXiv:1201.2130) | Zbl

[8] Ciubotaru, D. M.; Trapa, P. E. Characters of Springer representations on elliptic conjugacy classes, Duke Math. J., Volume 162 (2013) no. 2, pp. 201-223 | DOI | MR | Zbl

[9] Dat, J.-F. On the $K_0$ of a $p$-adic group, Invent. Math., Volume 140 (2000) no. 1, pp. 171-226 | DOI | MR | Zbl

[10] Dat, J.-F. Une preuve courte du principe de Selberg pour un groupe $p$-adique, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 129 (2001) no. 4, pp. 1213-1217 | DOI | MR | Zbl

[11] Harish-Chandra Supertempered distributions on real reductive groups, Studies in applied mathematics (Adv. Math. Suppl. Stud.), Volume 8, Academic Press, New York, 1983, pp. 139-153 | MR | Zbl

[12] Huang, J.-S. Dirac cohomology, elliptic representations and endoscopy, Representations of Reductive Groups: In Honor of the 60th Birthday of David A. Vogan, Jr. (Progress in Math.), Volume 312, Springer International Publishing, 2015, pp. 241-276 | DOI | MR | Zbl

[13] Huang, J.-S.; Kang, Y.-F.; Pandžić, P. Dirac cohomology of some Harish-Chandra modules, Transform. Groups, Volume 14 (2009) no. 1, pp. 163-173 | DOI | MR | Zbl

[14] Huang, J.-S.; Pandžić, P. Dirac cohomology, unitary representations and a proof of a conjecture of Vogan, J. Amer. Math. Soc., Volume 15 (2002) no. 1, pp. 185-202 | DOI | MR | Zbl

[15] Huang, J.-S.; Pandžić, P. Dirac operators in representation theory, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006, xii+199 pages | Zbl

[16] Huang, J.-S.; Sun, B. The Euler-Poincaré pairing of Harish-Chandra modules (arXiv:1509.01755v1)

[17] Kazhdan, D. Cuspidal geometry of $p$-adic groups, J. Analyse Math., Volume 47 (1986), pp. 1-36 | DOI | MR | Zbl

[18] Knapp, A. W.; Vogan, D. A. Jr. Cohomological induction and unitary representations, Princeton Mathematical Series, 45, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1995, xx+948 pages | MR | Zbl

[19] Kostant, B. Clifford algebra analogue of the Hopf-Koszul-Samelson theorem, the $\rho$-decomposition $C\left(𝔤\right)=\mathrm{End}{V}_{\rho }\otimes C\left(P\right)$, and the $𝔤$-module structure of $\bigwedge 𝔤$, Adv. Math., Volume 125 (1997) no. 2, pp. 275-350 | DOI

[20] Kottwitz, R. E. Tamagawa numbers, Ann. of Math. (2), Volume 127 (1988) no. 3, pp. 629-646 | DOI | MR | Zbl

[21] Labesse, J.-P. Pseudo-coefficients très cuspidaux et $K$-théorie, Math. Ann., Volume 291 (1991) no. 4, pp. 607-616 | DOI | MR | Zbl

[22] Meinrenken, E. Clifford algebras and Lie theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 58, Springer, Heidelberg, 2013, xx+321 pages | DOI | MR | Zbl

[23] Parthasarathy, R. Dirac operator and the discrete series, Ann. of Math. (2), Volume 96 (1972), pp. 1-30 | DOI | MR

[24] Renard, D. Euler-Poincaré pairing, Dirac index and elliptic pairing for Harish-Chandra modules (arXiv:1409.4166) | DOI | Zbl

[25] Schneider, P.; Stuhler, U. Representation theory and sheaves on the Bruhat-Tits building, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 85 (1997), pp. 97-191 | DOI | Numdam | Zbl

[26] Vignéras, M.-F. Caractérisation des intégrales orbitales sur un groupe réductif $p$-adique, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., Volume 28 (1981) no. 3, pp. 945-961 | Zbl

[27] Vignéras, M.-F. On formal dimensions for reductive $p$-adic groups, Festschrift in honor of I.I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Part I (Ramat Aviv, 1989) (Israel Math. Conf. Proc.), Volume 2, Weizmann, Jerusalem, 1990, pp. 225-266 | MR | Zbl

[28] Wallach, N. R. Real reductive groups. I, Pure and Applied Mathematics, 132, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, xx+412 pages | MR | Zbl