La fin du paradoxe de Condorcet. Quelles conséquences pour la comptabilité nationale ?

Arkhipoff, Oleg

Journal de la Société de statistique de Paris, Tome 129 (1988) no. 4, pp. 244-268.

[1] Arkhipoff Oleg : Pour une théorie générale de l'agrégation _ Journal de la Société de Statistique de Paris, tome 126, 1985 (pp. 145 à 167), Première partie, tome 127, 1986 (pp. 27 à 43), Deuxième partie.

[2] Borda Jean-Charles De : Mémoire sur les élections au scrutin _ Histoire de l'Académie des Sciences de Paris pour 1781; Paris 1784 (pp. 657 à 665). La communication originale est du 16 juin 1770.

[3] Condorcet : Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix _ Imprimerie Royale, Paris 1785. L'ouvrage se compose de deux parties : un « Discours préliminaire » (publié séparément in « Condorcet », Sur les élections et autres textes » _ Corpus des œuvres de philosophie en langue française, Fayard, Paris 1986) et de l'« Essai » proprement dit.

[5] Condorcet : Esquisse d'un tableau historique des progrès de l'esprit humain _ Éditions sociales, Paris 1971.

[7] Mascart Jean: La vie et les travaux du chevalier Jean-Charles de Borda (1733-1799); épisodes de la vie scientifique au XVIIIe siècle - Annales de l'Université de Lyon; A. Rey, Lyon et A. Picard, Paris 1919. | JFM

[8] Laplace Pierre-Simon : Œuvres _ Tome 7; Imprimerie Royale, Paris 1847 (3e éd.). La première édition date de 1812. Laplace y fait état d'un cours donné en 1795, dont l'ouvrage serait le développement.

[9] Arrow Kenneth J. : Social Choice and Individual Values _ Cowles Commission for Research in Economics Monograph n° 12, Wiley & Sons 1951. Une seconde édition a été publiée sous le même titre en 1963, toujours par Wiley & Sons; elle reprend intégralement le texte de 1951, avec un supplément donnant un théorème généralisant celui donné en 1951 (cela en réponse aux critiques adressées par Blau à la démonstration du théorème de 1951). Une traduction française, complétée par différentes notes, est parue en 1974, sous le titre : Choix collectif et préférences individuelles _ Calmann-Lévy, Paris. | MR | Zbl

[11] Baumol William J. : Note bibliographique sur Social Choice 1951, in Econometrica, vol. 20, n° 1, janvier 1952 (pp. 110-111).

[13] Guilbaud G. Th. : Les théories de l'intérêt général et le problème logique de l'agrégation _ Économie Appliquée, tome 5, 1952, n° 4 (« L'avantage collectif », pp. 501 à 584). Le texte est repris in Éléments de la théorie des jeux _ Monographie de recherche opérationnelle n° 9, AFIRO, Dunod, Paris 1968. A noter que Guilbaud a entrepris sa recherche dès 1948, indépendamment de celle d'Arrow, comme il nous l'a confirmé récemment, lors du Colloque « Condorcet », tenu à Paris, début juin 1988, dans le cadre de la commémoration du Bicentenaire de la Révolution française. Ce point méritait d'être souligné, car l'article de 1952 est à l'origine d'une série de recherches spécifiques à la France, se situant directement dans le prolongement direct de l'Essai et non pas dans la mouvance arrowienne de 1951.

[14] Lacroix S.F. : Traité élémentaire du calcul des probabilités _ 3e édition (la première édition est de 1816), cf. p. 280. En note de bas de page, Lacroix ajoute : « il ne paraît pas qu'on ait fait cette distinction avant M. Daunou dans l'excellent Mémoire qu'il a lu en l'an X (1803), sur ce sujet, à la Classe des Sciences morales et politique de l'Institut ». _ L'ouvrage de Daunou est « Mémoires sur les élections au scrutin » (1803; 79 p.). Il existe à la Bibliothèque Nationale sous la cote 4° Le 476; il peut également être consulté à l'Institut. Cela pour le lecteur intéressé par ce point d'histoire de la pensée.

[16] Bertillon Alphonse : La théorie des moyennes en statistique _ Journal de la Société de Statistique de Paris, tome 16, 1876 (pp. 265 à 271 et pp. 286 à 308). Pour unedéfense de Quetelet voir Maurice Fréchet: Réhabilitation de la notion statistique de l'homme moyen - Université de Paris, Conférence faite au Palais de la Découverte le 15 octobre 1949 _ Conférences du Palais de la découverte, Paris.

[17] Cournot A.A. : Exposition de la théorie des chances et des probabilités _ Hachette, Paris 1843.

[18] Quetelet Adolphe : Physique sociale ou essai sur les développements des facultés de l'homme _ Bruxelles Paris, Saint Petersbourg 1869, tome 1. Le point de départ des théories de Quetelet est de 1835 : Sur l'homme et le développement de ses facultés ou essai de physique sociale _ Bachelier, Paris (2 tomes).

[19] Lottin Joseph : Quetelet, Statisticien et Sociologue _ Alcan, Paris 1912.

[20] Touchard Jean : Histoire des idées politiques _ tome 1 : des origines au XVIIIe siècle; Thémis, PUF, Paris 1975 (5e édition).

[21] Voilquin Jean : Les penseurs grecs avant Socrate. De Thalès de Milet à Prodicos _ Classiques GF n° 31; Garnier-Flammarion, Paris 1964. Bien entendu les mots « majorité » et « minorité » ne figurent pas dans le texte grec : ...oí πλλoì κακoì, δλìγoi δε άγαϑoì. Ce point d'exégèse recouvre un intéressant problème d'agrégation : Heraclite, l'Obscur, aurait-il voulu dire que les individus mauvais sont légions ou bien que le nombre rend collectivement mauvais? Il serait intéressant ici de mettre Rousseau au rouet : l'homme naturellement bon se corrompt; _ ce qui est sûr, c'est que l'unanimité est toujours bonne, mais on peut hésiter pour la majorité! On pourrait encore ici noter le fameux Problème d'Adam Smith, où, par la magie de la main invisible, une somme d'égoïsmes particuliers se transmue en une vertu collective. En tout état de cause, il y a bien un changement de signification.

[22] Épître dédicatoire à Monseigneur le Comte de Devonshire in Hobbes. Le citoyen ou les fondements de la politique _ Classiques G.F. n° 385; Flammarion, Paris 1982.

[23] Avec des nuances pour Hobbes : c'est bien l'unanimité qui fonde le « Common-Wealth by Institution ». Pour le « Common-Wealth by Acquisition », c'est encore l'unanimité, mais quelque peu contrainte, les réfractaires étant éliminés d'une manière ou d'une autre de ce commonwealth, créé par la force (Leviathan - Everyman's Library n° 1691; Dent, London, éd. 1976).

[24] Du contrat social, Livre deuxième. Peut se poser ici la question de l'existence de la volonté générale, en tant que personne (intégrée, ajouterait peut-être Arrow). Henri Duprat, lui, parle d'une « hypostase indue », vigoureusement dénoncée par Schumpeter dans son Capitalisme, socialisme et démocratie (cf. Journal de la Société de Statistique de Paris, tome 94, 1954, pp. 152-153). Et il est vrai que Rousseau tient pour « indestructible » la volonté générale, une fois constituée celle-ci : si même l'homogénéité du corps social se trouble, cela n'atteint pas la volonté générale dans son être, mais en brouille seulement la perception.

[25] Le siècle était résolument métrologique. Rappelons les travaux célèbres de Borda. Rappelons encore que le mot « métrologie » apparaît pour la première fois chez Paucton, dans l'ouvrage qu'il publia en 1780 : Métrologie ou traité des mesures, poids et monnoies Des anciens Peuples & des Modernes. N'oublions pas, enfin le mouvement qui conduisit au Système métrique, auquel participèrent Borda et Condordet, entre autres.

[26] Quelques années avant la parution du Contrat social (1762), paraissait à Londres, en 1757, les Miscellaneous Tracts in SomeCurious... de Thomas Simpson, dans lequel figure le fameux traité : An Attempt to shew the Advantage arising by Taking the Mean of a Number of Observations, in pratical Astronomy (pp. 64 à 75). Simpson y écrit ceci : « Through the method practised by Astronomers, in order to diminish the errors arising from the imperfection of instruments and of the organs of sense, by taking the mean of several observations, i of very great utility, and almost universally followed, yet has it not, that I know of, been hitherto subjected to any kind of demonstration ». Et c'est cette démonstration que va donner Simpson. Il est bien peu vraisemblable que Rousseau ait eu connaissance de ce travail, alors tout récent, mais les idées directrices devaient déjà être dans l'air du temps.

[27] La combinaison de ce qu'on appelle maintenant des comités conduit également à la généralité des scrutins majoritaires, mais par une voie détournée et peu évidente. Voir d'article de Robert Bartoszynski : Power Structure in Dochotomous Voting _ Econometrica, vol. 40, n° 6, novembre 1972 (pp. 1003 à 1019).

[29] σωρός : tas. A partir de combien de grains a-t-on un tas de blé? Ce paradoxe est attribué à Eubulide de l'École de Mégare (IVe siècle avant Jésus-Christ). Voir notre : Un, deux, trois beaucoup; ou comment l'imprécision vient aux comptables _ Économies et Sociétés. Sciences de gestion; Cahiers de l'ISMEA, série SG, n° 6, juin 1985, tome XIX (pp. 185 à 199). Presses Universitaires de Grenoble 1985. En revenant sur le problème d'agrégation posé plus haut, en note [21], si le nombre est bon (ou mauvais), à partir de combien les Ỏλíγoi deviennent-ils πoλλoí? Nous touchons là une difficulté rencontrée par Rousseau.

[30] La fonction de coût et la notion de seuil associée peut également servir à mesurer la notion de complexité d'une structure. Le coût étant entendu de façon large, cela pourrait aussi aider à définir le degré d'intelligibilité, en termes de capacité de « mémoire » : un raisonnement, par exemple, est d'autant plus clair qu'il est contenu dans un seul état de conscience. Voir aussi notre : L'économie nationale. Un au-delà des sciences de gestion? _ in Actes du colloque ISEOR 1985 : « Méthodologie fondamentale en gestion, l'implicite et le normatif dans les modèles » FNEGE, ISEOR 1986 (pp. 210 à 224).

[31] L'exemple des cahiers de doléances de 1789 est ici typique : Les historiens continuent à ce jour à étudier leur « signification d'ensemble ».

[32] Durkheim, Émile: De la division du travail social _ Quadrige n° 84, PUF, Paris 1986 (11e édition). Pour Durkheim, la conscience collective a une existence concrète. Cette conscience collective s'oppose à l'émergence de l'individu.

[33] Saussure, Ferdinand De : Cours de linguistique générale _ Coll. Étude et Documents Payot, Payot, Paris 1969.

[34] Arkhipoff, Oleg : Pour une analyse conceptuelle de l'économie politique ou un essai de sémantique rationnel _ Revue de Science Financière, tome LXIX, n° 4, 1977 (pp. 939 à 974), Libraire Général de Droit et de Jurisprudence, Paris.

[35] Techniquement, ce sont des algèbres non partout définies, en règle générale. L'algèbre la plus générale est la classe multiplicative (si elle était partout définie, on aurait ce que Bourbaki appelle un magma). A partir de là, on peut considérer des algèbres plus fortes : graphes multiplicatifs, catégories, etc. Voir, par exemple : Charles Ehresmann, Catégories et structures _ Coll. Travaux et recherches mathématiques, Dunod, Paris 1965.

[36] Bachelard, Gaston : Le rationalisme appliqué _ PUF, Paris 1970.

[37] On connaît deux études célèbres sur la question : la Measure of Economic Welfare, de Tobin et Nordhaus (in Economic Growth _ NBER, Columbia University Press, 1972) et le Net National Welfare (Measuring Net National Welfare of Japan _ NNW Measurement Committee, ECJ, Tokyo 1974). On en trouvera une analyse critique dans notre: Peut-on mesurer le bien-être national?_ Les Collections de l'INSEE, série C, n° 41, INSEE, Paris 1976.

[38] Pour les relations logiques conçues en termes de classement (transitivité) nous renvoyons à nos études : Le problème de l'agrégation dans la mesure de la qualité de la vie : reformulation et généralisation du Théorème d'Arrow _ Revue de Science Financière, tome LXVI, 1974 (pp. 879 à 934);

LGDJ, Paris. Problems in Welfare Measurement _ Review of Income and Wealth, séries 23, 1977 (pp. 173 à 190).

Et : Reformulation du théorème d'Arrow et généralisations _ Annales de l'INSEE n° 18 (pp. 3 à 44), INSEE, Paris 1975.

Pour des relations logiques quelconques, voir Peut-on mesurer le bien-être national? déjà cité [33],

et aussi : An Introduction to the Axiomatics of Procedures of Aggregation _ Mathematical Social Science tome 1, 1980 (pp. 69 à 83) et [1]. L'optique adoptée dans toutes ces études est analytique et on étudie les modes de scrutin selon leurs performances à éviter le paradoxe agrégatif, c'est-à-dire, en dernière analyse, selon leur performance de conservativité de la « signification » pour un type de relation logique donné. | MR

[39] Arkhipoff, Oleg: Valeurs, réel économique et mouvements de prix _ Communication présentée au Deuxième Colloque ACN 1986, publiée in Nouveaux aspects de la comptabilité nationale, Edith Archambault et Oleg Arkhipoff (éd.), Economica, Paris 1988.

[40] Burk, Abram (Bergson) : A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics _ The Quaterly Journal of Economics, Vol. LII, fév. 1938, n° 2 (pp. 310 à 334).

[41] LITTLE, I.M.D. : Social Choice and Individual Values _ The Journal of Political Economy, vol. LX 1952 (pp. 422 à 432). L'analyse de Little de la Social Welfare Function Bergson-Samuelson relativement au Théorème d'Arrow est approuvée par Bergson in On the Concept of Social Welfare _ Abram Bergson, The Quaterly Journal of Economics, vol. LXVIII, 1954 (pp. 233 à 252).

[42] Voir, par exemple, Maurice Gross et André Lentin : Notions sur les grammaires formelles _ Coll. Programmation; Gauthier Villars, Paris 1970 (2e édition). Intuitivement, une fonction est calculable si et seulement si son graphe est énumérable. Or, pour les ensembles infinis dénombrables, l'énumérabilité constitue l'exception.

[43] Par exemple, ajuster par les moindres carrés généralisés, cf. notre The Synthesis and the Reliability of National Accounts by Means of Electronic Data Processing, in « Models and Decision Making in National Economies edited by Janssen, Pau, Straszak, North Holland 1979. Cet article est un compte rendu d'une expérience « grandeur nature », réalisée par nous au Cameroun en 1969. Depuis, plusieurs auteurs se sont intéressés à ce problème, ici ou là. Toutes ces recherches vont dans la bonne direction. Cependant, si le choix de la « meilleure » procédure d'ajustement constitue un problème en soi, il semble qu'on n'ait toujours pas vu le problème préjudiciel, savoir l'existence nécessaire de l'ajustement pur et les conséquences importantes qui en découlent.

[44] Kuhn, Thomas S. : La structure des révolutions scientifiques _ Coll. Nouvelle bibliothèque scientifique, Flammarion, Paris 1972. Voir aussi notre De quelques paradigmes en science économique, _ communication présentée au Colloque de l'Association Charles Gide pour l'étude de la Pensée Économique (Montpellier, 1985), publié en espagnol sous le titre Sobre algunos paradigmas de la ciencia económica _ Informatión Comercial Española, Revista de Economia, n° 634, junio 1986 (pp. 9 à 19), Ministerio de Economia y Hacienda, Madrid.

[45] Arkhipoff Oleg: Formalisme comptable: de la comptabilité d'entreprise à la comptabilité nationale _ Journal de la Société de statistique de Paris, tome 125, n° 3, 1984 (pp. 164 à 185).

[46] On pourrait ici citer la théorie du circuit de Quesnay, la balance dite de Gotha de Karl Marx (Critique des programmes de Gotha et d'Erfurt - Éditions sociales, Paris 1972).

[47] Arkhipoff, Oleg : La qualité de l'information et sa précision _ in « Qualité des informations scientifiques en Gestion» _ Colloque ISEOR 1986, Fondation Nationale pour l'Enseignement de la Gestion des Entreprises (FNEGE), Paris, et Institut de Socio-Economie des Entreprises et Organisations, Lyon 1986 (pp. 46 à 67).