Détection de changements abrupts dans le gradient d'un champ gaussien et application aux sciences de l'environnement
Journal de la Société française de statistique & Revue de statistique appliquée, Tome 148 (2007) no. 2, pp. 3-28.

Ce papier propose une méthode pour estimer et tester les zones où une variable échantillonnée dans le plan varie brusquement. Ces zones sont appelées Zones de Changement Abrupt (ZCAs). La méthode repose sur les propriétés statistiques du prédicteur du gradient local de la variable. Une statistique de test local définie à partir de celui-ci est comparée à un seuil critique calculé sous l'hypothèse nulle d'une moyenne constante sur le domaine d'étude. Cela permet de définir les ZCAs potentielles comme l'ensemble des points où le test local rejette l'hypothèse nulle. Afin de tester la significativité globale des ZCAs potentielles détectées, les tests locaux sont ensuite agrégés en utilisant les propriétés géométriques des composantes connexes des ZCAs potentielles. Le schéma d'échantillonnage, et en particulier sa densité locale, détermine la puissance du test local. La cartographie de cette puissance est illustrée et permet d'identifier les zones où d'éventuelles ZCAs peuvent être détectées ou non. La méthodologie est appliquée à des données de sol prélevées dans une petite région du Jura suisse. L'analyse des teneurs en métaux lourds tels que le nickel et le cobalt révèle les principales structures géologiques de la région.

We propose a method for estimating and testing the zones where a variable presents discontinuities or sharp variations in the mean. Such zones are called Zones of Abrupt Change (ZACs). Our method is based on the statistical properties of the predictor of the local gradient of the variable under study. A local test statistic is defined from it and is compared to some critical threshold computed under the null hypothesis of a constant mean. The locations where the null hypothesis is rejected define the potential ZACs. Then, to assess their significance, we aggregate the local tests using geometrical properties of the connected components in the potentials ZACs. The sampling pattern, in particular its local density, is crucial in the power of the local test used for detecting ZACs. It is shown that mapping the power allows us to identify zones where ZACs may or may not be detected. The methodology is applied to a soil data set sampled in a small part of the Swiss Jura. Analyzing heavy metal concentrations for ZACs allowed us to identify the main geological structures of the region.

Mot clés : champs gaussiens, champs de $\chi ^2$, ensemble d’excursion, estimation de gradient, géostatistique, puissance
Mots-clés : excursion set, gaussian random fields, geostatistics, gradient estimation, power, $\chi ^2$ random fields 
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[1] Adler R. (1981) The Geometry of Random Fields. New-York : Wiley. | MR | Zbl

[2] Adler R. (2000) On excursion sets, tube formulas and maxima of random fields. The Annals of Applied Probability, 10, 1-74. | MR | Zbl

[3] Allard D., Gabriel E. and Bacro J.N. (2005) Estimating and testing zones of abrupt change for spatial data. Research Report 2, Unité de Biométrie, INRA-Avignon. Available at : http://www.avignon.inra.fr/internet/unites/biometrie/publications_scientifiques/RR.htm

[4] Aronowich M. and Adler R. (1988) Sample path behaviour of χ 2 surfaces at extrema. Advances in Applied Probability, 18, 901-920. | MR | Zbl

[5] Atteia O., Dubois J-P. and Webster R. (1994) Geostatistical analysis of soil contamination in the Swiss Jura. Environmental Pollution, 86, 315-327.

[6] Banerjee S., Gelfand A., and Sirmans C. (2003) Directional rates of change under spatial process models. Journal of the American Statistician Association, 98, 946-954. | MR | Zbl

[7] Barbujani G., Oden N. and Sokal R. (1989) Detecting areas of abrupt change in maps of biological variables. Systematic Zoology, 38, 376-389.

[8] Bocquet-Appel J-P. and Bacro J-N. (1994) Generalized Wombling. Systematic Biology, 43 442-448.

[9] Cao J. (1999) The size of the connected components of excursion sets of χ 2 , t and F fields. Advances in Applied Probability (SGSA), 31, 579-595. | MR | Zbl

[10] Chilès J-P. and Delfiner P. (1999) Geostatistics : modeling spatial uncertainty, Wiley, New-York. | MR | Zbl

[11] Cressie N. (1993) Statistics for spatial data, Revised Edition. Wiley, New-York. | MR | Zbl

[12] Fortin M-J. (1994) Edge detection algorithms for two-dimensional ecological data. Ecology, 75, 956-965.

[13] Fortin M-J. and Drapeau P. (1995) Delineation of ecological boundaries : Comparisons of approaches and significance tests. Oikos, 72, 323-332.

[14] Gabriel E. (2004) Détection de zones de changement abrupt dans des données spatiales et application à l'agriculture de précision. Ph.D. thesis, University of Montpellier. Available at : http://www.maths.lancs.ac.uk/~gabriel/papers/TheseGabriel.pdf

[15] Gabriel E., Allard D. and Bacro J-N. (2004) Detecting Zones of Abrupt Change : Application to Soil Data. In Proceedings of the IV European Conference on Geostatistics for Environmental Applications, X. Sanchez-Vila, J. Carrera and R. Froidevaux (eds), pp. 437-448.

[16] Gleyze J-F., Bacro J-N. and Allard D. 2001. Detecting regions of abrupt change : Wombling procedure and statistical significance. geoENV III : Geostatistics for environmental applications P. Monestiez, D. Allard and R. Froidevaux (eds), Kluwer, The Netherlands, pp. 311-322.

[17] Goovaerts P. 1997. Geostatistics for Natural Resources Evaluation. Oxford Univ. Press, New-York.

[18] Hall P. and Rau C. 2001. Local likelihood tracking of fault lines and boundaries. Journal of the Royal Statistical Society B, 63, 569-582. | MR | Zbl

[19] Jacquez G. and Maruca S. (1998) Geographic boundary detection. In Proceedings of the 8th International Symposium on Spatial Data Handling. T.K. Poiker and N. Chrisman (eds) International Geographical Union, pp. 496-509.

[20] Jacquez G., Maruca S. and Fortin M-J. (2000) From fields to objects : a review of geographic boundary analysis. Journal of Geographical Systems, 2, 221-241.

[21] Lantuéjoul C. (1991) Ergodicity and integral range. Journal of Microscopy, 161, 387-403.

[22] Matheron G. (1962) Traité de Géostatistique Appliquée. Tome I. Mémoires du Bureau de Recherches Géologiques et Minières. No. 24. Editions Bureau de Recherches Géologiques et Minières, Paris.

[23] Oden N., Sokal R., Fortin M-J. and Goebl H. (1993) Categorical Wombling : Detecting regions of significant change in spatially located categorical variables. Geographical Analysis, 25, 315-336.

[24] Pagel M., and Mace R. (2004) The cultural wealth of nations. Nature, 428, 275-278.

[25] Womble W. (1951) Differential systematics. Science, 114, 315-322.

[26] Worsley K. (1994) Local maxima and the expected Euler characteristic of excursion sets of χ 2 , F and t fields. Advances in Applied Probability, 26, 13-42. | MR | Zbl

[27] Worsley K. (2001) Testing for signals with unknown location and scale in a χ 2 random field, with application to fMRI. Advances in Applied Probability (SGSA), 33, 773-793. | MR | Zbl

[28] Yaglom A. M. (1986) Correlation theory of stationary and related random functions. Springer-Verlag, Berlin. | Zbl