On numerical computation for the distribution of the convolution of N independent rectified Gaussian variables

Beauchamp, Maxime

Journal de la société française de statistique, Tome 159 (2018) no. 1, pp. 88-111.

For large $N$ and when no variables is predominant over the others, the central limit theorem (CLT) shall apply to the sum of random variables with negative values reset to zero. The parameters of the normal distribution are simply obtained by computing the expected value and the variance of each left rectified distributions. But for small $N$, the distribution of the sum is clearly not Gaussian and can present several modes and a strong skewness. In this paper, a way of computing the probability density function of the sum of $N$ independent rectified Gaussian variables is presented, so that the calculation issues raised by the convolution product is solved. Some numerical examples are given and the validity of this approach is assessed through a comparison with a Monte-Carlo approach and an application to the PAH’s (Polycyclic Aromatic Hydrocarbon) batch filters measurements is provided.

Pour $N$ grand, le thèorème de la limite centrale s’applique si l’on cherche à sommer des variables aléatoires gaussiennes rectifiées, i.e. dont les valeurs négatives sont remises à zéro. Les paramètres de la gaussienne sont obtenus en sommant les espérances et les variances de chaque gaussienne censurée. Pour $N$ petit, la distribution de la somme n’est évidemment pas gaussienne : elle peut présenter plusieurs modes et une forte asymétrie. Dans ce papier, le calcul de la densité de probabilité associée à la somme de variables aléatoires gaussiennes rectifiées indépendantes est présenté. Il est obtenu classiquement à partir d’un produit de convolution mais il présente des complications calculatoires qui sont détaillées et résolues. Une comparaison avec des simulations Monte-Carlo est fournie pour valider les développements. Enfin, une application à des données de mesures par filtres de HAP (Hydrocarbure Aromatique Polycyclique) est également présentée.

Keywords: densité de probabilité, variable gaussienne rectifiée, somme de variables indépendantes
Mot clés : probability density function, rectified Gaussian variable, sum of independent variables

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