Sur certains ensembles normaux

Borel, J.-P.

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 1 (1989) no. 1, pp. 67-79.

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles $A$.

Let $\Lambda$ be a sequence of real numbers and $B\left(\Lambda \right)$ the associated normal set, i.e. the set of all real numbers $x$ such that $x\Lambda$ is uniformely distributed modulo one. Our main problem is the following : for a given $A\subset ℝ$, does there exist a bounded sequence $\Lambda$ such that $A=B\left(\Lambda \right)$? In some particular cases, when $A\subset \mathbb{Z}$, we give an estimate of the minimal length of a bounded subinterval $I$ of $ℝ$ in which $\Lambda$ can be taken. We prove that to obtain such an estimate, we have to study the following problem on polynomials : for a given polynomial $P$ with no positive root, find the minimal degree $\delta Q$ of those polynomials $Q$ such that the product $P.Q$ has only positive coefficients.

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