Oscillations d'un terme d'erreur lié à la fonction totient de Jordan

Pétermann, Y.-F. S.

Pétermann, Y.-F. S.

Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 3 (1991) no. 2, pp. 311-335.

Résumé

Let $J_{k} (n) : = n^{k} \prod_{p ∣ n} (1 - p^{- k})$ (the $k$ -th Jordan totient function, and for $k = 1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $E_{k} (x) : = \sum_{n \leq x} J_{k} (n) - \frac{x^{k + 1}}{(k + 1) ζ (k + 1)}$ . When $k \geq 2$ , both $i_{k} : = E_{k} (x) x^{- k}$ and $s_{k} : = lim sup E_{k} (x) x^{- k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $I_{k} : = {lim inf}_{n \in ℕ, n \to \infty} \sum_{d \geq 1} \frac{μ (d)}{d^{k}} (\frac{1}{2} - \{\frac{n}{d}\}),$ since from [AS] $i_{k} = I_{k} - {(ζ (k + 1))}^{-} 1$ and from the present paper $s_{k} = - i_{k}$ . We show that $I_{k}$ belongs to an interval of the form $(\frac{1}{2 ζ (k)} - \frac{1}{(k - 1) N^{k - 1}}, \frac{1}{2 ζ (k)})$ , where $N = N (k) \to \infty$ as $k \to \infty$ . From a more practical point of view we describe an algorithm capable of yielding arbitrary good approximations of $I_{k}$ . We apply this algorithm to the small values of $k$ and obtain $. 29783 < I - 2 < . 29877, . 415891 < I_{3} < . 415923,$ and $. 46196896 < I_{4} < . 46196916$ .

MR Zbl

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Pétermann, Y.-F. S. Oscillations d'un terme d'erreur lié à la fonction totient de Jordan. Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 3 (1991) no. 2, pp. 311-335. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1991__3_2_311_0/

Bibliographie
Cité par

[AS] S.D. Adhikari and A. Sankaranarayanan, On an error term related to the Jordan totient function Jk(n), J. Number Theory 34 (1990), 178-188. | MR | Zbl

[ES] P. Erdös and H.N. Shapiro, The existence of a distribution function for an error term related to the Euler function, Canad. J. Math. 7 (1955), 63-75. | MR | Zbl

[M] H.L. Montgomery, Fluctuations in the mean of Euler's phi function, Proc. Indian Acad. Sci. (Math.Sci.) 97 (1987), 239-245. | MR | Zbl

[P1] Y.-F.S. Pétermann, Existence of all the asymptotic λ-th means for certain arithmetical convolutions, Tsukuba J. Math. 12 (1988), 241-248. | Zbl

[P2] Y.-F.S. Pétermann, On the distribution of values of an error term related to the Euler function, Proc. Conf. Théorie des nombres Univ. Laval juillet 1987, 785-797, Walter de Gruyter, Berlin (1989). | MR | Zbl

[P3] Y.-F.S. Pétermann, On the average behaviour of the largest divisor of n which is prime to a fixed integer k, prépublication.

[W] A. Walfisz, Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1963). | MR | Zbl