Quelques propriétés arithmétiques des points de 3-division de la jacobienne de y 2 =x 5 -1
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 4 (1992) no. 1, p. 113-128

Soit C la courbe projective lisse et irréductible, définie sur Q, et dont un modèle affine est donné par y 2 =x 5 -1. On désigne par l’unique point de C qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit J la jacobienne de C et soit φ:C 2 J le morphisme associant à chaque couple (ξ,η) de points de C la classe du diviseur [ξ]+[η]-2[] dans Pic 0 C. Soient u,v,f les trois fonctions rationnelles sur J définies par uφ(ξ,η)=x(ξ)+x(η),vφ(ξ,η)=x(ξ)x(η),f=-u+v+1 Le but de cet article est de montrer que pour tout point P de 3-division non nul de J,u(P) et v(P) sont des entiers algébriques et f(P)/5 est une unité. Nous expliciterons le corps engendré par ces valeurs ainsi que le polynôme minimal des f(P).

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Boxall, J.; Bavencoffe, E. Quelques propriétés arithmétiques des points de $3$-division de la jacobienne de $y^2 = x^5 - 1$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 4 (1992) no. 1, pp. 113-128. http://www.numdam.org/item/JTNB_1992__4_1_113_0/

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