Description des voisines de E 7 ,D 7 ,D 8 , et D 9
Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 4 (1992) no. 2, pp. 273-377.

Un article précédent paru dans le Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux contient une description détaillée des orbites de voisines pour les représentants des 15 classes de formes parfaites à 7 variables, non équivalentes à E 7 et qui possèdent plus de 28 vecteurs minimaux. Le lecteur trouvera ici le résultat correspondant pour E 7 , ainsi qu’une description plus détaillée des voisines de D 7 . Ceci termine la classification des formes parfaites en dimension 7. Un premier pas en direction de la classification des formes parfaites en dimension 8 (resp. 9) est réalisé au travers de la liste exhaustive des classes de formes parfaites voisines de D 8 (resp. D 9 ). Pour chacune de ces classes, un représentant est donné ; on trouvera également la description des principaux invariants associés à ces classes de formes parfaites.

A previous article published in the Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux contains a detailed description of the orbits of neighbours for the representatives of the 15 classes of perfect forms in 7 variables which are non equivalent to E 7 and have more than 28 minimal vectors. The reader will find here the corresponding result for E 7 as well as a more detailed description of the neighbours of D 7 . This completes the classification of the perfect septenary forms. A first step in the direction of the classification of perfect forms in dimension 8 (resp. 9) is realized through the exhaustive list of the classes of perfect forms which are adjoining onD 8 (resp. D 9 ). For each of these classes, a representative is given ; one will also find the description of the main invariants associated to these classes of perfect forms.

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Jaquet-Chiffelle, David-Olivier. Description des voisines de $E_7, D_7, D_8,$ et $D_9$. Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, Série 2, Tome 4 (1992) no. 2, pp. 273-377. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1992__4_2_273_0/

[Ba 1] Barnes, E.S., The complete enumeration of extreme senary forms, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 249 (1957), 461-506. | MR | Zbl

[BM 1] Bergé, A.-M. & Martinet, J., Sur la constante d'Hermite (étude historique), Sém. de Th. des Nombres de Bordeaux Exposé 8 (1985-1986), 8-01-8-15. | Zbl

[Bl 1] Blichfeldt, H.F., The minimum values of quadratic forms in six, seven and eight variables, Math. Z. 39 (1935), 1-15. | JFM | MR | Zbl

[CS 1] Conway, J.H. & Sloane, N.J.A., Sphere-packings, lattices and groups, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 290, Springer-Verlag, (1988). | MR | Zbl

[CS 2] Conway, J.H. & Sloane, N.J.A., Low-dimensional lattices. III. Perfect forms, Proc. R. Soc. Lond. A 418 (1988), 43-80. | MR | Zbl

[JS 1] Jaquet, D.-O. & Sigrist, F., Formes quadratiques contiguës à D7, C. R. Acad. Sci. Paris t. 309, Série I (1989), 641-644. | MR | Zbl

[Ja 1] Jaquet, D.-O., Domaines de Voronoï et algorithme de réduction des formes quadratiques définies positives, Sém. de Th. des Nombres de Bordeaux 2ème série (1990), 163-215. | Numdam | MR | Zbl

[Ja 2] Jaquet, D.-O., Classification des réseaux dans 7 (via la notion de formes parfaites), Astérisque 198-199-200, Soc. Math. de France (1991), 177-185. | Numdam | MR | Zbl

[Ja 3] Jaquet, D.-O., Enumération complète des classes de formes parfaites en dimension 7, Thèse, Institut de Mathématiques et d'Informatique, Univ. de Neuchâtel, 80 pages; (1991). | Zbl

[Ja 4] Jaquet-Chiffelle, D.-O., Enumération complète des classes de formes parfaites en dimension 7, Annales de l'Institut Fourier, à paraître (1993). | Numdam | MR | Zbl

[Kn 1] Kneser, M., Two remarks on extreme forms, Can. J. Math. 7 (1955), 145-149. | MR | Zbl

[Mo 1] Mordell, L.J., Observation on the minimum of a positive quadratic form in eight variables, J. Lond. Math. Soc. 19 (1944), 3-6. | MR | Zbl

[Oe 1] Oesterlé, J., Empilements de sphères, Sém. N. Bourbaki 42, Exposé 727, Vol. 1989-90; (1990). | Numdam | MR | Zbl

[Si 1] Sigrist, F., Le théorème de Burnside sur le comptage des orbites et quelques applications, L'Enseignement mathématique t. 35 (1989), 96-106. | MR | Zbl

[St 1] Stacey, K.C., The enumeration of perfect quadratic forms in seven variables, Ph. D. Dissertation, University of Oxford; (1973).

[St 2] Stacey, K.C., The enumeration of perfect septenary forms, J. Lond. Math. Soc. (2) 10 (1975), 97-104. | MR | Zbl

[St 3] Stacey, K.C., The perfect septenary forms with Δ4 = 2, J. Austral. Math. Soc. (A) 22 (1976), 144-164. | Zbl

[Ve 1] Vetchinkin, N.M., Uniqueness of the classes of positive quadratic forms on which the values of Hermite constants are attained for 6 ≤ n ≤8, Trudy mat. Inst. imeni V. A. Steklova 152 (1980), 34-86, (traduction anglaise dans Proc. Stekklov Inst. Math. (3) (1982), 37-95). | Zbl

[Vo 1] Voronoï, G., Sur quelques propriétés des formes quadratiques positives parfaites, J. reine angew. Math 133 (1908), 97-178. | JFM

[Wa 1] Watson, G.L., On the minimum of a positive quadratic form in n (≤ 8) variables (verification of Blichfeldt's calculation), Proc. Camb. phil. Soc 62 (1966), 719. | Zbl

[Wa 2] Watson, G.L., On the minimal points of perfect septenary forms, Mathematika 16 (1969), 170-177. | MR | Zbl