Sur les carrés dans certaines suites de Lucas

Mignotte, Maurice; Pethö, Attila

Mignotte, Maurice ; Pethö, Attila

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 5 (1993) no. 2, pp. 333-341.

Résumé
Abstract

Soit $a$ un entier $\geq 3$ . Pour $α = (a + \sqrt{a^{2} - 4}) / 2$ et $β = (a - \sqrt{a^{2} - 4}) / 2$ , nous considérons la suite de Lucas $𝑢_{𝑛} = (α^{𝑛} - β^{𝑛}) / (α - β)$ . Nous montrons que, pour $a \geq 4, 𝑢_{𝑛}$ n’est ni un carré, ni le double, ni le triple d’un carré, ni six fois un carré pour $n > 3$ sauf si $a = 338$ et $n = 4$ .

Let a be an integer $\geq 3$ . If $α = (a + \sqrt{a^{2} - 4}) / 2$ and $β = (a - \sqrt{a^{2} - 4}) / 2$ , we consider the Lucas sequence $u_{n} = (α^{n} - β^{n}) / (α - β)$ . We prove that for $a \geq 4, u_{n}$ is neither a square, nor a double or a triple square, nor six times a square for $n > 3$ , except for $a = 338$ and $n = 4$ .

MR Zbl

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TY  - JOUR
AU  - Mignotte, Maurice
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TI  - Sur les carrés dans certaines suites de Lucas
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1993
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PB  - Université Bordeaux I
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Mignotte, Maurice; Pethö, Attila. Sur les carrés dans certaines suites de Lucas. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 5 (1993) no. 2, pp. 333-341. http://archive.numdam.org/item/JTNB_1993__5_2_333_0/

Bibliographie
Cité par

[1] W.L. Mcdaniel et P. Ribenboim, Squares and double-squares in Lucas sequences, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 14 n° 2, 3 (1992), 104-108. | MR | Zbl

[2] M. Pohst & H. Zassenhaus, Algorithmic algebraic number theory, Cambridge University Press, 1989. | MR | Zbl

[3] W. Ljungreen, Zur Theorie der Gleichung x2 + 1 = Dy4, Avh. Norske Vid. Akad. Oslo, No. 5, 1, (1942). | JFM | MR

[4] A. Baker et H. Davenport, The equations 3x2 - 2 = y2 et 8x2 - 7 = z2, Quart. J. Math. Oxford 2 (1969), 129-137. | Zbl

[5] M. Waldschmidt, Minorations de combinaisons linéaires de logarithmes de nombres algébriques, Canadian J. Math. 45 (1) (1993), 176-224. | MR | Zbl

[6] M. Mignotte et M. Waldschmidt, Linear forms in two logarithms and Schneider's method, III, Annales Fac. Sci. Toulouse (1990), 43-75. | Numdam | MR | Zbl

[7] T.W. Cusik, The diophantine equation x4 - kx2 y2 + y4 = 1, Arch. Math. 59 (1992), 345-347. | MR | Zbl