Séries formelles et produit de Hadamard

Necer, Abdelkader

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 319-335.

Nous nous intéressons ici essentiellement à l’algèbre de Hadamard des séries formelles. Si des résultats importants ont été obtenus dans le cas d’une variable, il n’en est pas de même dans le cas de plusieurs variables. En effet, beaucoup de problèmes posés restent encore sans réponse. C’est le cas par exemple du problème du quotient de Hadamard, ou celui de la caractérisation des éléments de Hadamard inversibles, ou les diviseurs de zéro, ou encore le problème des multiplicateurs de certains sous-ensembles de l’algèbre des séries formelles. Dans une première partie de ce travail, nous rappelons les propriétés arithmétiques ou algébriques des séries formelles en une ou plusieurs variables sur un corps commutatif. Nous insistons sur les différents résultats liés aux propriétés de clôture pour le produit de Hadamard des sous-ensembles des séries reconnaissables, rationnelles, algébriques ou $D$-finies. Dans la seconde partie, nous présentons quelques résultats nouveaux liés au problème du quotient de Hadamard.

We are interested here in the properties of the Hadamard algebra of power series in one or many variables. Many problems like the Hadamard quotient or the determination of some particular elements (units, zero divisors, ... ) are still open in several variables. After a survey of some facts and examples as regards to the closure properties of the sets of recognized, rational, algebraic or $D$-finite series, we shall recall partial answers to the problem of Hadamard quotient and a characterization of the units of the algebra of recognized series.

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