Propriétés arithmétiques et dynamiques du fractal de Rauzy

Messaoudi, Ali

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 1, pp. 135-162.

Dans ce travail, nous construisons explicitement deux isomorphismes métriques partout continus. L’un entre le système dynamique symbolique associé à la substitution $\sigma :0\mapsto 01,1\mapsto 02,2\mapsto 0$ et une rotation sur le tore ${𝕋}^2$; l’autre, entre le système adique stationnaire [33] associé à la matrice de la substitution et la même rotation. Pour cela, nous étudions les propriétés arithmétiques de la frontière d’un ensemble compact de $ℂ$ appelé “fractal de Rauzy”. Les constructions se généralisent aux substitutions de la forme ${\sigma }_k:0\mapsto 01,1\mapsto 02,\cdots k-1\mapsto 0k,k\mapsto 0$ où $k>2$.

Here we construct explicitly two metrical isomorphisms everywhere continuous. One between the symbolic dynamical system associated to the substitution $\sigma :0\mapsto 01,1\mapsto 02,2\mapsto 0$ and a rotation of the torus ${𝕋}^2$; the other is between the adic stationary system associated to the matrix of the substitution and the same rotation. For this we study the arithmetical properties of the boundary of a compact subset of $𝐂$ namely the “Rauzy fractal”. The constructions are generalised to substitutions ${\sigma }_k:0\mapsto 01,1\mapsto 02,\cdots k-1\mapsto 0k,k\mapsto 0\text{où}k>2$.

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