Imbrications entre le théorème de Mason, la descente de Belyi et les différentes formes de la conjecture $\left(abc\right)$

Langevin, Michel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 11 (1999) no. 1, pp. 91-109.

Soient $A,B,C=A+B$ trois éléments de l’ensemble ${\mathbb{N}}^{*}$ des entiers > $0$ (resp. $ℂ\left[X\right]$) des polynômes complexes) premiers entre eux ; on note $r\left(ABC\right)$ le produit des facteurs premiers (resp. le nombre des facteurs premiers dans $ℂ\left[X\right]$) du produit $ABC$. La conjecture $\left(abc\right)$ énonce que, pour tout $ϵ>0$, il existe $C_{ϵ}>0$ pour lequel l’inégalité : $r\left(ABC\right)\ge C_{ϵ}{S}^{1-ϵ}$ avec $S=$ max$(A,B,C)$) est toujours vérifiée. Le théorème de Mason établit l’inégalité, $D$ (supposé > $0$) désignant le plus grand des degrés des polynômes $A,B,C:r\left(ABC\right)\ge D+1$. Les cas de triplets de polynômes où l’égalité $r\left(ABC\right)=D+1$ est vérifiée sont reliés à de nombreux problèmes de théorie des nombres ; les triplets d’entiers qu’ils engendrent conduisent, modulo la conjecture $\left(abc\right)$, à des minorations de $r\left(G\right(A,B\left)\right)$ où $G\in \mathbb{Z}[X,T]$ est un polynôme homogène et $A,B$ des entiers premiers entre eux ; dans ces constructions de polynômes et d’entiers, le théorème de Mason et son environnement jouent un rôle-clef.

Let $A,B,C=A+B$ be relatively prime polynomials with complex coefficients and maximal degree $D$ (> $0$). The Mason’s theorem implies that $D+1$ does not exceed the number $r\left(ABC\right)$ of distinct roots of the product $ABC$. Similarly, let $A,B,C=A+B$ be relatively prime positive integers and $S=$ max$(A,B,C)$. Let $r\left(ABC\right)$ be the product of all primes dividing the product $ABC$. The $abc$-conjecture implies that, for any $ϵ>0$, there exists $C_{ϵ}>0$ such that the inequality: $r\left(ABC\right)\ge C_{ϵ}{S}^{1-ϵ}$ holds for any triple $A,B,C=A+B$ of integers. The cases of equality $r\left(ABC\right)=D+1$ for polynomials $A,B,C=A+B$ are linked to numerous results in number theory ; triples of integers generated by these cases lead, by using the abc-conjecture, to optimal minoration of $r\left(G\right(A,B\left)\right)$ (where $G\in \mathbb{Z}[X,T]$ is a form and $A,B$ are coprime integers) ; in these polynomial constructions of integers, the role of the Mason’s theorem is crucial.

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