De l’euclidianité de $\mathbb {Q} \left(\sqrt{2 +\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \right)$ et $\mathbb {Q} \left( \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)$ pour la norme

Cerri, Jean-Paul

De l’euclidianité de

ℚ (\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}})

ℚ (\sqrt{2 + \sqrt{2}})

pour la norme

Cerri, Jean-Paul

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 103-126.

Résumé
Abstract

Cet article a pour objectif de présenter un algorithme permettant de montrer, à l’aide d’un ordinateur, l’euclidianité pour la norme du sous-corps réel maximal $K$ du corps cyclotomique $ℚ (ζ_{32})$ où $ζ_{32} = e^{i π / 16}$ , corps totalement réel de degré $8$ et de discriminant $2 147 483 648$ , et plus précisément de prouver que $M (K) = \frac{1}{2}$ . La méthode utilisée permet par ailleurs de prouver que pour $K = ℚ (ζ_{16} + ζ_{16}^{- 1})$ , on a également $M (K) = \frac{1}{2}$ (conjecture de H. Cohn et J. Deutsch). Les résultats relatifs à ce cas sont exposés en fin d’article.

This article presents an algorithm which has allowed us to show, with the help of a computer, that the maximal real subfield $K$ of the cyclotomic field $ℚ (ζ_{32})$ where $ζ_{32} = e^{i π / 16}$ , totally real number field of degree $8$ and discriminant $2 147 483 648$ , is norm-Euclidean, and more precisely, to prove that $M (K) = \frac{1}{2}$ . Furthermore, it can be proved using the same method that if $K = ℚ (ζ_{16} + ζ_{16}^{- 1})$ , we also have $M (K) = \frac{1}{2}$ (as conjectured by H. Cohn and J. Deutsch). The results relative to this case are presented at the end of this paper.

MR Zbl

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Cerri, Jean-Paul. De l’euclidianité de $\mathbb {Q} \left(\sqrt{2 +\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \right)$ et $\mathbb {Q} \left( \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)$ pour la norme. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 103-126. http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_103_0/

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Cité par

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