Soit une algèbre de quaternions définie sur un corps de nombres . Nous associons à tout couple de symboles de Hilbert et pour un invariant dans un quotient du groupe des classes au sens restreint de . Cet invariant a son origine dans l’étude des sous-groupes finis d’un groupe kleinien arithmétique maximal. Il mesure la distance entre les ordres et dans associés à et . Si , nous calculons en termes de l’arithmétique du corps Le problème d’étendre ce calcul au cas général conduit à l’étude d’un graphe fini lié aux différents symboles de Hilbert pour . Nous considérons en détail un exemple issu de la détermination de la plus petite variété hyperbolique arithmétique de dimension trois.
Let be a quaternion algebra over a number field . To a pair of Hilbert symbols and for we associate an invariant in a quotient of the narrow ideal class group of . This invariant arises from the study of finite subgroups of maximal arithmetic kleinian groups. It measures the distance between orders and in associated to and If , we compute by means of arithmetic in the field The problem of extending this algorithm to the general case leads to studying a finite graph associated to different Hilbert symbols for . An example arising from the determination of the smallest arithmetic hyperbolic -manifold is discussed.
@article{JTNB_2000__12_2_367_0, author = {Chinburg, Ted and Friedman, Eduardo}, title = {Hilbert symbols, class groups and quaternion algebras}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {367--377}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {12}, number = {2}, year = {2000}, mrnumber = {1823190}, zbl = {0973.11097}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_2_367_0/} }
TY - JOUR AU - Chinburg, Ted AU - Friedman, Eduardo TI - Hilbert symbols, class groups and quaternion algebras JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2000 SP - 367 EP - 377 VL - 12 IS - 2 PB - Université Bordeaux I UR - http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_2_367_0/ LA - en ID - JTNB_2000__12_2_367_0 ER -
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Chinburg, Ted; Friedman, Eduardo. Hilbert symbols, class groups and quaternion algebras. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 367-377. http://archive.numdam.org/item/JTNB_2000__12_2_367_0/
[B] Commensumbility classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 8 (1981), 1-33. Also in Borel's Oeuvres, Berlin Springer (1983). | Numdam | MR | Zbl
,[CF1] An embedding theorem for quaternion algebras. J. London Math. Soc. (2) 60 (1999), 33-44. | MR | Zbl
, ,[CF2] The finite subgroups of maximal arithmetic Kleinian groups. Ann. Institut Fourier 50 (2000), 1765-1798. | Numdam | MR | Zbl
, ,[CFJR] The arithmetic hyperbolic 3-manifold of smallest volume. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (to appear). | Numdam | MR | Zbl
, , , ,[R] Maximal Orders. Acad. Press London (1975). | MR | Zbl
,[V] Arithmétique des algèbres de Quaternions. Lecture Notes in Math. 800, Springer-Verlag Berlin (1980). | MR | Zbl
,