Cyclotomic quadratic forms

Sigrist, François

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 519-530.

L’algorithme de Voronoï est un procédé permettant d’obtenir la liste complète des formes quadratiques positives parfaites à $n$ variables. Sa généralisation aux $G$-formes permet de classer les formes $G$-parfaites, avec l’avantage de se dérouler dans un espace de dimension plus petite ($G$ est un sous-groupe fini de $GL(n,\mathbb{Z}))$. On étudie ici la représentation standard du groupe cyclique $G=C_m$ en dimension $\phi \left(m\right)$, de polynôme caractéristique ${\Phi }_m\left(x\right)$ (polynôme cyclotomique). Une forme $G$-invariante est dite forme cyclotomique. Toute les formes $G$-parfaites sont données pour $\phi \left(m\right)<16$, de même que pour $m=17$, où la forme cyclotomique la plus dense est entièrement nouvelle. On obtient ainsi une constante d’Hermite cyclotomique, qui s’avère être souvent meilleure que la constante d’Hermite habituelle. C’est le cas pour $m=5,7,11,13,16,17,36$, et vraisemblablement $32$ (les calculs pour $m=32$ sont en cours, et ont déjà fourni $4600$ formes $C_{32}$-parfaites). Les résultats complets sont disponibles à http://www.unine.ch/math.

Voronoï ’s algorithm is a method for obtaining the complete list of perfect $n$-dimensional quadratic forms. Its generalization to $G$-forms has the advantage of running in a lower-dimensional space, and furnishes a finite, and complete, classification of $G$-perfect forms ($G$ is a finite subgroup of $GL(n,\mathbb{Z}))$. We study the standard, $\phi \left(m\right)$-dimensional irreducible representation of the cyclic group $C_m$ of order $m$, and give the, often new, densest $G$-forms. Perfect cyclotomic forms are completely classified for $\phi \left(m\right)<16$ and for $m=17$. As a consequence, we obtain precise upper bounds for the Hermite invariant of cyclotomic forms in this range. These bounds are often better than the known or conjectural values of the Hermite constant for the corresponding dimensions ; this is indeed the case for $m=5,7,11,13,16,17,36$. The complete results can be taken from http://www.unine.ch/math.

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