Sur la méthode de Van der Corput pour les sommes d'exponentielles

Redouaby, Marouan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 583-607.

Pour majorer la somme d’exponentielle

$$\sum _{m=M+1}^{2M}e\left(TF(m/M)\right),$$

où $F:$ [1,2] $\to ℝ$ est une fonction “presque monomiale”, $M$ est une entier grand et $T$ un réel grand devant $M^4$, nous étudions le procédé $A^{k}BAD,\text{où}A\text{et}B$ désignent comme d’habitude les transformations $A\text{et}B$ de Van der Corput [2], et où $D$ désigne le double grand crible appliqué dans l’esprit de Fouvry et Iwaniec [1]. Nos résultats complètent le tableau 17.1 de [5] (voir également [4]) et sont résumés dans le corollaire 2 ci-dessous.

In order to bound the exponential sum

$$\sum _{m=M+1}^{2M}e\left(TF(m/M)\right),$$

where $F:[1,2]\to ℝ$ is an “almost monomial” function, $M$ is a large integer and $T$ is a real number larger than $M^4$, we study the $A^{k}BAD$ process, where $A$ et $B$ refer to the classical $A$ and $B$ Van der Corput transforms [2], and $D$ refers to the double large sieve as used by Fouvry and Iwaniec [1]. Our results complete Table 17.1 of [5] (see also [4]) and are summarized in corollary 2 below.

[1] E. Fouvry, H. Iwaniec, Exponential sums with monomials. J. Number Theory 33 (1989), 311-333. | MR | Zbl

[2] S.W. Graham, G. Kolesnik, Van der Corput's method of exponential sums. London Math. Soc Lecture Notes 126, Cambridge University Press, 1991. | MR | Zbl

[3] D.R. Heath-Brown, Weyl's inequality, Hua's inequality, and Waring's problem. J. London Math. Soc. 28 (1988), 216-230. | Zbl

[4] M.N. Huxley, Expoential sums and the Riemann zeta function IV. Proc. London Math. Soc 66 (1993), 1-40. | MR | Zbl

[5] M.N. Huxley, Area, lattice points and exponential sums. Clarendon Press, Oxford, 1996. | MR | Zbl

[6] H.L. Montgomery, Ten problems on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. CBMS 84, American Math. Soc., 1994. | MR | Zbl

[7] M. Redouaby, P. Sargos, Sur la transformation B de Van der Corput. Expo. Math. 17 (1999), 207-232 | MR | Zbl

[8] P. Sargos, Un critère de la dérivée cinquième pour les sommes d'exponentielles. Bull. London Math. Soc 32 (2000), 398-402. | MR | Zbl