Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$

Godin, Marjory; Sodaïgui, Bouchaïb

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 241-248.

Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞l\left(k\right)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_4$ est dite alternée. Soit $E/k$ une extension cyclique de degré $3$. On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞l\left(k\right)$, de toute extension alternée contenant $E$. Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞l\left(k\right)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise pas l’ordre de $𝒞l\left(k\right)$. Ensuite, on montre que l’ensemble des éléments de $𝒞l\left(k\right)$ qui sont réalisables par des classes de Steinitz d’extensions alternées (resp. alternées et modérées) est le groupe $𝒞l\left(k\right)$ tout entier.

Let $k$ be a number field and $𝒞l\left(k\right)$ its class group. A Galois extension of $k$ is called alternating if its Galois group is isomorphic to the alternating group $A_4$. Let $E/k$ be a cyclic extension of degree $3$. We calculate the Steinitz class, in $𝒞l\left(k\right)$, of every alternating extension containing $E$. Under the assumption that the class number of $k$ is odd, we determine the set of such classes and we prove that it is a subgroup of $𝒞l\left(k\right)$ when the ring of integers of $E$ is free over that for $k$ or the order of $𝒞l\left(k\right)$ is not divisible by $3$. Next, we prove that the subset of $𝒞l\left(k\right)$ consisting of those classes which are realizable as the Steinitz classes of alternating (resp. tame alternating) extensions is the full group $𝒞l\left(k\right)$.

[A] E. Artin Questions de base minimale dans la théorie des nombres algébriques. Dans: Colloq. Internat. CNRS 24, Paris, 1950, 19-20. | MR | Zbl

[C1] J.E. Carter, Steinitz classes of a nonabelian extension of degree p3. Colloq. Math. 71 (1996), 297-303 | EuDML | MR | Zbl

[C2] J.E. Carter, Module structure of integers in metacyclic extensions. Colloq. Math. 76 (1998), 191-199. | EuDML | MR | Zbl

[C3] J.E. Carter, Steinitz classes of nonabelian extensions of degree p3. Acta Arith. 78 (1997), 297-303. | EuDML | MR | Zbl

[F] A. Fröhlich, The discriminant of relative extensions and the existence of integral bases. Mathematika 7 (1960), 15-22. | MR | Zbl

[FT] A. Fröhlich, M.J. Taylor, Algebraic number theory. Cambridge University Press, 1991. | MR | Zbl

[H] E. Hecke Lectures on the theory of algebraic numbers. Graduate Texts Math. 77, Springer-Verlag, New York, 1981. | MR | Zbl

[K] S.-H. Kwon, Extensions à groupes de Galois A4. Thèse, Université de Bordeaux I, 1984. Corps de nombres de degré 4 de type alterné. C.R.Acad.Sci. 299 (2) (1984), 41-43. | Zbl

[L] R. Long, Steinitz classes of cyclic extensions of prime degree. J. Reine Angew. Math. 250 (1971), 87-98. | EuDML | MR | Zbl

[Ma] J. Martinet, Discriminants and permutation groups. Number Theory, Walter de Gruyter (Richard A. Molin, ed.), Berlin - New York, 1990, 359-385 | MR | Zbl

[Mc] L.R. Mcculloh, Galois module structure of abelian extensions. J. Reine Angew. Math. 375/376 (1987), 259-306. | MR | Zbl

[N] J. Neukirch Class field theory. Springer-Verlag, Berlin, 1986. | MR | Zbl

[Se] J.-P. Serre, Corps Locaux, 3ème édition. Hermann, Paris, 1980 | MR

[So1] B. Sodaïgui, Classes de Steinitz d'extensions galoisiennes relatives de degré une puissance de 2 et problème de plongement. Illinois J. Math. 43 (1999), 47-60. | MR | Zbl

[So2] B. Sodaïgui, Relative Galois module structure and Steinitz classes of dihedral extensions of degree 8. J. Algebra 223 (1999), 367-378. | MR | Zbl

[So3] B. Sodaïgui, Realizables Classes of quaternion extensions of degree 41. J. Number Theory 80 (2000), 304-315. | MR | Zbl

[W] L.C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, 2nd edition. Springer-Verlag, Berlin, 1996. | MR