Fundamental domains for Shimura curves
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 15 (2003) no. 1, p. 205-222

We describe a process for defining and computing a fundamental domain in the upper half plane of a Shimura curve X 0 D (N) associated with an order in a quaternion algebra A/𝐐. A fundamental domain for X 0 D (N) realizes a finite presentation of the quaternion unit group, modulo units of its center. We give explicit examples of domains for the curves X 0 6 (1),X 0 15 (1),andX 0 35 (1). The first example is a classical example of a triangle group and the second is a corrected version of that appearing in the book of Vignéras [13], due to Michon. These examples are also treated in the thesis of Alsina [1]. The final example is new and provides a demonstration of methods to apply when the group action has no elliptic points.

Nous décrivons un procédé permettant de déterminer explicitement un domaine fondamental dans le demi-plan supérieur pour une courbe de Shimura X 0 D (N) associée à un ordre d’une algèbre de quaternions A/. Un domaine fondamental pour X 0 D (N) réalise une présentation finie du groupe des unités quaternioniennes modulo les unités du centre. Nous donnons des exemples explicites pour les courbes X 0 6 (1),X 0 15 (1) et X 0 35 (1). Le premier exemple est l’exemple classique d’un groupe triangulaire et le second est une version corrigée due à Michon de celui du livre [13] de Vignéras. Ces exemples sont aussi traités dans la thèse d’Alsina [1]. Le dernier exemple est nouveau et fournit un modèle des méthodes qu’il faut appliquer lorsque le groupe agit sans points elliptiques.

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Kohel, David R.; Verrill, Helena A. Fundamental domains for Shimura curves. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 15 (2003) no. 1, pp. 205-222. http://www.numdam.org/item/JTNB_2003__15_1_205_0/

[1] M. Alsina, Aritmetica d'ordres quaternionics i uniformitzacio hiperbolica de corbes de Shimura. PhD Thesis, Universitat de Barcelona 2000, Publicacions Universitat de Barcelona, ISBN: 84-475-2491-4, 2001.

[2] W. BOSMA, J. CANNON, eds. The Magma Handbook. The University of Sydney, 2002. http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/htmlhelp/MAGMA.htm.

[3] J. Cremona, Algorithms for modular elliptic curves, Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. | MR 1628193 | Zbl 0872.14041

[4] N. Elkies, Shimura Curve Computations. Algorithmic Number Theory, LNCS 1423, J. Buhler, ed, Springer (1998), 1-47. | MR 1726059 | Zbl 1010.11030

[5] D. Kohel, Endomorphism rings of elliptic curves over finite fields. Thesis, University of California, Berkeley, 1996.

[6] D. Kohel, Hecke module structure of quaternions. Class field theory-its centenary and prospect (Tokyo, 1998), K. Miyake, ed, Adv. Stud. Pure Math., 30, Math. Soc. Japan, Tokyo (2001), 177-195. | MR 1846458 | Zbl 1040.11044

[7] D. Kohel, Brandt modules. Chapter in The Magma Handbook, Volume 7, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 343-354.

[8] D. Kohel, Quaternion Algebras. Chapter in The Magma Handbook, Volume 6, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 237-256.

[9] A. Kurihara, On some examples of equations defining Shimura curves and the Mumford uniformization. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 25 (1979), 277-301. | MR 523989 | Zbl 0428.14012

[10] J.-F. Michon, Courbes de Shimura hyperelliptiques. Bull. Soc. Math. France 109 (1981), no. 2, 217-225. | Numdam | MR 623790 | Zbl 0505.14024

[11] D. Roberts, Shimura curves analogous to X0(N). Ph.D. thesis, Harvard, 1989.

[12] H. Verrill, Subgroups of PSL2(R), Chapter in The Magma Handbook, Volume 2, J. Cannon, W. Bosma Eds., (2001), 233-254.

[13] M.-F. Vignéras, Arithmétiques des Algèbres de Quaternions, LNM 800, Springer-Verlag, 1980. | MR 580949 | Zbl 0422.12008