Algebraic independence over p
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 16 (2004) no. 3, p. 519-533

Let f(x) be a power series n1 ζ(n)x e(n) , where (e(n)) is a strictly increasing linear recurrence sequence of non-negative integers, and (ζ(n)) a sequence of roots of unity in ¯ p satisfying an appropriate technical condition. Then we are mainly interested in characterizing the algebraic independence over p of the elements f(α 1 ),..., f(α t ) from p in terms of the distinct α 1 ,...,α t p satisfying 0<|α τ | p <1 for τ=1,...,t. A striking application of our basic result says that, in the case e(n)=n, the set {f(α)|α p ,0<|α| p <1} is algebraically independent over p if (ζ(n)) satisfies the “technical condition”. We close with a conjecture concerning more general sequences (e(n)).

Soit f(x) une série entière n1 ζ(n)x e(n) , où (e(n)) est une suite récurrente linéaire d’entiers naturels, strictement croissante, et (ζ(n)) une suite de racines de l’unité dans ¯ p , qui satisfait à une hypothèse technique convenable. Alors nous nous sommes particulièrement intéressés à caractériser l’indépendance algébrique sur p des éléments f(α 1 ),...,f(α t ) de p en fonction des α 1 ,...,α t p , deux à deux distincts, avec 0<|α τ | p <1 pour τ=1,...,t. Une application remarquable de notre résultat principal dit que, dans le cas e(n)=n, l’ensemble {f(α)|α p ,0<|α| p <1} est algébriquement indépendant sur p , si (ζ(n)) satisfait à “l’hypothèse technique”. Nous terminerons par une conjecture portant sur des suites (e(n)) plus générales.

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     author = {Bundschuh, Peter and Nishioka, Kumiko},
     title = {Algebraic independence over $\mathbb{Q}\_p$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
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Bundschuh, Peter; Nishioka, Kumiko. Algebraic independence over $\mathbb{Q}_p$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 16 (2004) no. 3, pp. 519-533. doi : 10.5802/jtnb.458. http://www.numdam.org/item/JTNB_2004__16_3_519_0/

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