Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas

Samuel, Pierre

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 693-703.

Etant donnés deux entiers $P,Q,$ impairs, premiers entre eux et tels que $P^2-4Q>0$, on étudie les suites ${\left(x_n\right)}_{n\ge 0}$ d’entiers positifs telles que $x_{n+1}=P{x}_n-Q{x}_{n-1}$. Elles généralisent les suites classiques de Lucas $\left(U_n(P,Q)\right)$ et $(V_n(P,Q)$. Les propriétés des diviseurs premiers de $V_n(P,Q)$ pour $n=3·2^j$ donnent, via le calcul des Symboles de Legendre de certains $x_n$ modulo ceux-ci, une méthode efficace de détermination des carrés (resp. doubles, triples, ... de carrés) dans une suite $\left(x_n\right)$. Ceci est appliqué aux équations Diophantiennes de la forme $x^4-E{y}^2=k$, $x^2-E{y}^4=k$ lorsque $E$ est la partie sans facteurs carrés d’un entier de la forme $P^2-4$, $P$ impair. On construit des suites $\left(x_n\right)$ contenant un carré d’indice arbitrairement grand. Et on montre comment trouver des suites $\left(x_n\right)$ contenant trois carrés.

Let $P,Q$ be positive, relatively prime and odd integers such that $P^2-4Q>0$. We study the sequences ${\left(x_n\right)}_{n\ge 0}$ of positive integers satisfying the recursion formula $x_{n+1}=P{x}_n-Q{x}_{n-1}$. They generalize the classical Lucas sequences $\left(U_n(P,Q)\right)$ and $\left(V_n(P,Q)\right)$. The prime divisors of $V_n(P,Q)$ for $n=3·2^j$ have nice properties which, through the computation of the Legendre Symbols of suitable $x_n$’s modulo these primes, give an efficient method for trying to find all squares (also double squares, triple squares, ...) in the sequence $\left(x_n\right)$. This is applied to Diophantine equations of the form $x^4-E{y}^2=k$, $x^2-E{y}^4=k$ when $E$ is the squarefree part of an integer $P^2-4$, $P$ odd. We construct sequences $\left(x_n\right)$ containing squares with arbitrarily large indices. We also show how to find sequences $\left(x_n\right)$ containing three squares.

[1] J.H.E. Cohn, Eight Diophantine equations. Proc. London Math. Soc. (3), 16 (1966), 153–166. | MR | Zbl

[2] J.H.E. Cohn, Some quartic Diophantine equations. Pacific J. of Math. 26, 2 (1968), 233–243. | MR | Zbl

[3] W. Mc Daniel, P. Ribenboim, The square terms in Lucas sequences. J. Number Theory, 58, 1 (1996), 104–123. | MR | Zbl

[4] J.P. Serre, Cours d’Arithmétique. Presses Univ. de France, 1970. | MR | Zbl