Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 16 (2004) no. 3, p. 693-703

Let P,Q be positive, relatively prime and odd integers such that P 2 -4Q>0. We study the sequences (x n ) n0 of positive integers satisfying the recursion formula x n+1 =Px n -Qx n-1 . They generalize the classical Lucas sequences (U n (P,Q)) and (V n (P,Q)). The prime divisors of V n (P,Q) for n=3·2 j have nice properties which, through the computation of the Legendre Symbols of suitable x n ’s modulo these primes, give an efficient method for trying to find all squares (also double squares, triple squares, ...) in the sequence (x n ). This is applied to Diophantine equations of the form x 4 -Ey 2 =k, x 2 -Ey 4 =k when E is the squarefree part of an integer P 2 -4, P odd. We construct sequences (x n ) containing squares with arbitrarily large indices. We also show how to find sequences (x n ) containing three squares.

Etant donnés deux entiers P,Q, impairs, premiers entre eux et tels que P 2 -4Q>0, on étudie les suites (x n ) n0 d’entiers positifs telles que x n+1 =Px n -Qx n-1 . Elles généralisent les suites classiques de Lucas (U n (P,Q)) et (V n (P,Q). Les propriétés des diviseurs premiers de V n (P,Q) pour n=3·2 j donnent, via le calcul des Symboles de Legendre de certains x n modulo ceux-ci, une méthode efficace de détermination des carrés (resp. doubles, triples, ... de carrés) dans une suite (x n ). Ceci est appliqué aux équations Diophantiennes de la forme x 4 -Ey 2 =k, x 2 -Ey 4 =k lorsque E est la partie sans facteurs carrés d’un entier de la forme P 2 -4, P impair. On construit des suites (x n ) contenant un carré d’indice arbitrairement grand. Et on montre comment trouver des suites (x n ) contenant trois carrés.

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Samuel, Pierre. Les carrés dans des généralisations des suites de Lucas. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 16 (2004) no. 3, pp. 693-703. doi : 10.5802/jtnb.466. http://www.numdam.org/item/JTNB_2004__16_3_693_0/

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