Généralisation d’un théorème d’Iwasawa
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 17 (2005) no. 2, p. 527-553

We extend to convenient finite quotients of a noetherian Λ-module the classical result of K. Iwasawa giving the asymptotic expression of the -part of the number of ideal class groups in -extensions of number fields. Then, in the arithmetic context, we compute the three characters associated by this way to the -groups of T-infinitesimal S-classes in the cyclotomic tower and relate them to the classical invariants and the decomposition characters associated to the finite sets of places S and T. A main tool in this study is the so-called Spiegelungssatz of Georges Gras, which exchanges (wild or tame) ramification and decomposition. The main results of this arithmetical part extend those we obtained with Christian Maire in a previous article (cf. [12]). The most intricate study of the wild contribution of the sets S and T involves a generalization of a classical result of R. Greenberg on the genus theory of cyclotomic towers (cf. [3]).

Nous généralisons à certains quotients finis d’un Λ-module noethérien non nécessairement de torsion le classique théorème d’Iwasawa sur l’expression asymptotique du -nombre de classes dans les -extensions. Puis nous illustrons les résultats obtenus en déterminant explicitement les caractères invariants attachés aux -groupes de S-classes T-infinitésimales dans une tour cyclotomique à partir de quelques paramètres référents et de données galoisiennes simples des extensions considérées. Un outil fondamental de cette étude est l’identité du miroir établie par Georges Gras, qui permet par dualité d’exprimer des conditions de ramification (sauvages ou modérées) dans une extension en termes de décomposition dans une autre extension. Les résultats obtenus précisent et complètent ceux établis dans un travail antérieur en collaboration avec Christian Maire (cf. [12]). L’étude approfondie des contributions sauvages repose sur une généralisation d’un résultat de R. Greenberg (cf. [3]).

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Jaulent, Jean-François. Généralisation d’un théorème d’Iwasawa. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 17 (2005) no. 2, pp. 527-553. doi : 10.5802/jtnb.506. http://www.numdam.org/item/JTNB_2005__17_2_527_0/

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