Ramification groups in Artin-Schreier-Witt extensions

Thomas, Lara

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 17 (2005) no. 2, pp. 689-720.

Let $K$ be a local field of characteristic $p>0$. The aim of this paper is to describe the ramification groups for the pro-$p$ abelian extensions over $K$ with regards to the Artin-Schreier-Witt theory. We shall carry out this investigation entirely in the usual framework of local class field theory. This leads to a certain non-degenerate pairing that we shall define in detail, generalizing in this way the Schmid formula to Witt vectors of length $n$. Along the way, we recover a result of Brylinski but with a different proof which is more explicit and requires less technical machinery. A first attempt is finally made to extend these computations to the case where the perfect field of $K$ is merely perfect.

Soit $K$ un corps local de caractéristique $p>0$. L’objectif de cet article est de décrire les groupes de ramification des pro-$p$ extensions abéliennes de $K$ à travers la théorie d’Artin-Schreier-Witt. Dans le cadre usuel de la théorie du corps de classes local, cette étude est menée entièrement et conduit à un accouplement non-dégénéré que nous définissons en détail, généralisant ainsi la formule de Schmid pour les vecteurs de Witt de longueur $n$. Au passage, on retrouve un résultat de Brylinski avec des arguments plus explicites nécessitant moins d’outils techniques. La dernière partie aborde le cas plus général où le corps résiduel de $K$ est parfait.

[1] E. Artin, O.Schreier, Eine Kennzeichnung der reell algeschlossenen Körper. Abh. Math. Sem. Hamburg 5 (1927), 225–231.

[2] J.-L. Brylinski, Théorie du corps de classes de Kato et revêtements abéliens de surfaces. Ann. Inst. Fourier, 33.3, Grenoble (1983), 23–38. | Numdam | MR | Zbl

[3] I.B. Fesenko, S.V. Vostokov, Local Fields and Their Extensions. Translation of Mathematical Monographs 121, Amer. Math. Soc. (1993). | MR | Zbl

[4] M. Garuti, Linear sytems attached to cyclic inertia. (Berkeley, CA, 1999), 377–386, Proc. Sympos. Pure Math., 70, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2002). | MR | Zbl

[5] H. Hasse, Theorie der relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörper, insbesondere bei endlichem Konstantenkörper. J. Reine Angew. Math. 172 (1934), 37–54. | Zbl

[6] M. Hazewinkel, Abelian extensions of local fields, Ph.D. thesis. Universiteit Nijmegen, Holland (1969). | MR | Zbl

[7] E. Maus, Die Gruppentheoretische Struktur der Verzweigungsgruppenreihen. J. Reine. Angew. Math. 230 (1968), 1–28. | MR | Zbl

[8] L. Ribes, P. Zalesskii, Profinite groups. A series of Modern Surveys in Mathematics, Volume 40, Springer (2000). | MR | Zbl

[9] P. Roquette, Class Field Theory in characteristic $p$. Its origin and development. K. Miyake (ed.), Class Field Theory- Its Centenary and Prospect, Advanced Studies In Pure Mathematics, vol. 30, Tokyo (2000), 549–631. | MR | Zbl

[10] H.L. Schmid, Über das Reziprozitätsgezsetz in relativ-zyklischen algebraischen Funktionkörpern mit endlichem Konstantenkörper. Math. Z. 40 (1936), no. 1, 94–109. | MR | Zbl

[11] H.L. Schmid, Zyklischen algebraische Funktionkörper vom Grade $p^n$ über endlichem Konstantenkörper der Charakteristik $p$. J. Reine Angew. Math. 175, (1936), 108–123. | Zbl

[12] H.L. Schmid, Zur Arithmetik der zyklischen $p$-Körper. J. Reine Angew. Math. 176 (1937), 161–167 | Zbl

[13] J.-P. Serre, Corps Locaux. Hermann, Paris (1962). [English translation : Local Fields. Graduate Texts in Math. 67, Springer, New York (1979)]. | MR | Zbl

[14] S.S. Shatz, Profinite groups, arithmetic and geometry. Princeton university press and university of Tokyo press (1972). | MR | Zbl

[15] O. Teichmüller, Zerfallende zyklische $p$-Algebren. J. Reine Angew. Math., 174 (1936), 157–160. | Zbl

[16] L. Thomas, Arithmétique des extensions d’Artin-Schreier-Witt, Ph.D. (2005). Université Toulouse II Le Mirail.

[17] E. Witt, Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik vom Grad $p^n$. J. Reine Angew. Math., 174 (1936), 126–140. | Zbl