Kloosterman sums for prime powers in P-adic fields
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 21 (2009) no. 1, p. 175-201

Let K be a field of degree n over Q p , the field of rational p-adic numbers, say with residue degree f, ramification index e and differential exponent d. Let O be the ring of integers of K and P its unique prime ideal. The trace and norm maps for K/Q p are denoted Tr and N, respectively. Fix q=p r , a power of a prime p, and let η be a numerical character defined modulo q and of order o(η). The character η extends to the ring of p-adic integers p in the natural way; namely η(u)=η(u ˜), where u ˜ denotes the residue class of u modulo q, and similarly for the root of unity ζ q u =exp(2πiu ˜/q). Fix a positive integer γre-d for which N(1+P γ )1+q p so that the (twisted) Kloosterman sums

R(η,z)=α(O/Pγ)*η(Nα)ζqTrα+z/Nα(zZ/qZ*)

are well-defined.

Saliè explicitly determined R(η,z) in the classical case n=1 (so K=Q p ) for q=p r with r>1 and o(η)=1 or 2. Here I generalize Saliè’s result for the general case n>1 for characters η with o(η)|p-1 (also o(η)=2 when p=2), and for all γre-d>1 but for a few small exceptional values r. My evaluation relies on the author’s recent explicit determination of Gauss sums for prime powers in p-adic fields and exponential sums of the form χ(x) ax ζ q bx .

Soit K un corps de degré n sur Q p , le corps des nombres p-adiques, de degré résiduel f, indice de ramification e et valuation de la différente d. Soient O l’anneau des entiers de K et P son unique idéal premier. Les applications trace et norme de K/Q p sont notées Tr et N, respectivement. Fixons q=p r , une puissance du nombre premier p, et η un caractère défini modulo q et d’ordre o(η). Ce caractère η s’étend naturellement à l’anneau des entiers p-adiques p  ; précisément η(u)=η(u ˜), où u ˜ désigne la classe résiduelle de u modulo q, et de même pour la racine de l’unité ζ q u =exp(2πiu ˜/q). Fixons un entier positif γre-d pour lequel N(1+P γ )1+q p , de sorte que les sommes (todues) de Kloosterman

R(η,z)=α(O/Pγ)*η(Nα)ζqTrα+z/Nα(zZ/qZ*)

sont bien définies.

Saliè a déterminé explicitement R(η,z) dans le cas classique n=1 (donc K=Q p ) pour q=p r avec r>1 et o(η)=1 ou 2. Ici, je généralise le résultat de Saliè dans le cas général n>1 pour des caractères η avec o(η)|p-1 (et aussi o(η)=2 quand p=2), et pour tout γre-d>1 sauf un petit nombre de valeurs exceptionnelles de r. Mon évaluation repose sur la détermination récente et explicite par l’auteur des sommes de Gauss pour les puissances de nombres premiers dans les corps p-adiques, et des sommes d’exponentielles de la forme χ(x) ax ζ q bx .

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Gurak, Stanley J. Kloosterman sums for prime powers in P-adic fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 21 (2009) no. 1, pp. 175-201. doi : 10.5802/jtnb.665. http://www.numdam.org/item/JTNB_2009__21_1_175_0/

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